Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera (KKT)

Optymalizacja nieliniowa z ograniczeniami nierównościowymi.

1. Przygotowanie Zadania

Zawsze sprowadzaj zadanie do formy standardowej:

Funkcja Lagrange'a: $L(x, \lambda) = f(x) + \lambda \cdot g(x)$

2. Schemat Rozwiązywania (Krok po Kroku)

KROK A: Obliczenie Pochodnych

Oblicz $\frac{\partial L}{\partial x_1}$ oraz $\frac{\partial L}{\partial x_2}$. Przyrównaj je do zera. Otrzymasz dwa równania z niewiadomymi $x_1, x_2, \lambda$.

KROK B: Przypadek "Wnętrze" ($\lambda = 0$)

1. Podstaw $\lambda = 0$ do pochodnych.
2. Wylicz $x_1$ oraz $x_2$.
3. Sprawdź, czy $x_1 + x_2 \le \text{limit}$.
4. Jeśli TAK -> To jest Twoje rozwiązanie. Jeśli NIE -> Przejdź do Kroku C.

KROK C: Przypadek "Krawędź" ($g(x) = 0$)

1. Załóż, że ograniczenie trzyma idealnie: $x_1 + x_2 = \text{limit}$.
2. Masz teraz układ 3 równań: dwie pochodne (z $\lambda$) oraz równanie krawędzi.
3. Wylicz $x_1, x_2$ oraz $\lambda$.
4. Weryfikacja: Sprawdź czy $\lambda \ge 0$. Jeśli wyjdzie ujemne, to rozwiązanie jest błędne.

3. Przykład Praktyczny (Analiza Zadania 2 z arkusza)

Zadanie: Wyznacz minimum funkcji $f(x) = x_1^2 + x_2^2$ przy $x_1 + x_2 \ge 4$.

Sceptyczna uwaga: Znak $\ge$ musimy zmienić. $x_1 + x_2 \ge 4 \implies -x_1 - x_2 + 4 \le 0$.

Pochodne:
$L = x_1^2 + x_2^2 + \lambda(-x_1 - x_2 + 4)$
1. $\frac{\partial L}{\partial x_1} = 2x_1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2x_1$
2. $\frac{\partial L}{\partial x_2} = 2x_2 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2x_2$

Z powyższego: $2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$.

Sprawdzenie krawędzi ($-x_1 - x_2 + 4 = 0$):
$-x_1 - x_1 + 4 = 0 \implies 2x_1 = 4 \implies x_1 = 2$.
Zatem $x_2 = 2$.

Weryfikacja mnożnika:
$\lambda = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.
Ponieważ $4 > 0$, warunek KKT jest spełniony. Punkt $(2, 2)$ jest rozwiązaniem.