Witaj w Kompendium AiSUD byku

Tutaj znajdziesz wszystkie wzory, definicje i schematy rozwiązywania zadań z przedmiotu Analiza i Symulacja Układów Dynamicznych.

Prod by chatu and pjoterek

jak to uwalimy to idziemy pić a jak zdamy to wsm też

Jak korzystać?

Teoria: Krótkie definicje i wzory.
Schematy: Algorytmy krok po kroku jak rozwiązać typowe zadanie egzaminacyjne.
Wzory: Renderowane w LaTeX dla czytelności.

Analogie Mechaniczno-Elektryczne

1. Metoda Lagrange'a

Podstawa opisu układów w tym kursie. Pozwala wyprowadzić równania ruchu/obwodu na podstawie bilansu energii[cite: 7].

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_{k}}{\partial\dot{q}}\right) - \frac{\partial(E_{k}-E_{p})}{\partial q} + \frac{1}{2}\frac{\partial P}{\partial\dot{q}} = Q $$

$q$ – współrzędne uogólnione (np. przesunięcie $x$, kąt $\alpha$, ładunek $q_e$)[cite: 9].
$\dot{q}$ – prędkości uogólnione (np. prędkość $v$, prędkość kątowa $\omega$, prąd $i$)[cite: 10].
$E_k$ – Energia kinetyczna (gromadzona w masie/bezwładności/cewce)[cite: 16].
$E_p$ – Energia potencjalna (gromadzona w sprężynie/kondensatorze)[cite: 27].
$P$ – Funkcja dyssypacji (mocy traconej w tłumiku/rezystorze)[cite: 38].
$Q$ – Siły uogólnione (wymuszenia: siła $F$, moment $M$, napięcie $u$)[cite: 11].

Wzory na energię[cite: 21, 35, 42]:

Rodzaj elementu	Translacja (Mech)	Rotacja (Mech)	Elektryczny
Kinetyczna $E_k$ (Bezwładność)	$$ \frac{1}{2}mv^2 $$	$$ \frac{1}{2}J\omega^2 $$	$$ \frac{1}{2}Li^2 $$
Potencjalna $E_p$ (Sprężystość)	$$ \frac{1}{2}Kx^2 $$	$$ \frac{1}{2}K_r\alpha^2 $$	$$ \frac{1}{2}\frac{q_e^2}{C} $$
Dyssypacja $P$ (Tłumienie)	$$ Dv^2 $$	$$ D_r\omega^2 $$	$$ Ri^2 $$

2. Tabela Analogii (Ściąga Egzaminacyjna)

Dwa systemy są analogiczne, jeśli opisujące je równania mają taką samą postać matematyczną[cite: 175].

Wielkość / Element	Mechaniczny (Translacja)	Analog I Rodzaju (Siła → Napięcie) [cite: 100]	Analog II Rodzaju (Siła → Prąd) [cite: 241]
Zmienna przepływu	Prędkość $ v $	Prąd $ i $	Napięcie $ u $
Zmienna wysiłku	Siła $ F $	Napięcie $ u $	Prąd $ i $
Element inercyjny (gromadzi $E_k$)	Masa $ m $	Indukcyjność $ L $	Pojemność $ C $
Element sprężysty (gromadzi $E_p$)	Sprężyna $ K $	Pojemność $ 1/C $ (Odwrotność!)	Indukcyjność $ 1/L $ (Odwrotność!)
Element rozpraszający (traci moc)	Tłumik $ D $	Rezystancja $ R $	Konduktancja $ G = 1/R $
Prawo Kirchhoffa	Bilans sił (d'Alembert)	II prawo (Napięciowe)	I prawo (Prądowe)
Topologia	Połączenie Równoległe (wspólna prędkość)	Połączenie Szeregowe (wspólny prąd)	Połączenie Równoległe (wspólne napięcie)

3. Algorytm Tworzenia Analogów (Cookbook)

A. Analog II Rodzaju (Siła → Prąd) – Najłatwiejszy [cite: 259, 278]

Jest to tzw. analogia odwrotna (topologiczna). Struktura układu elektrycznego odpowiada strukturze mechanicznego.

Węzły: Każdej niezależnej masie (lub punktowi połączenia o innej prędkości) przypisz węzeł elektryczny. Prędkość $v$ staje się napięciem $u$ w węźle.
Masa: Masę $M$ podłącz jako kondensator $C$ pomiędzy dany węzeł a masę (uziemienie).
Siła: Siłę wymuszającą $F$ zamień na źródło prądowe $i$ wchodzące do węzła.
Elementy łączące:
- Sprężynę $K$ (między masami $M_1$ a $M_2$) zamień na cewkę $L$ (między węzłami $u_1$ a $u_2$).
- Tłumik $D$ zamień na rezystor (konduktancję $G$) w tym samym miejscu.
Elementy do ściany: Jeśli sprężyna/tłumik łączy masę ze ścianą (v=0), w analogu podłączasz je do uziemienia.

B. Analog I Rodzaju (Siła → Napięcie) [cite: 135, 189]

Wymaga zmiany topologii. Węzły mechaniczne stają się oczkami elektrycznymi.

Oczka: Każdej niezależnej prędkości (masie) przypisz oczko (pętlę) prądu. Prędkość $v$ staje się prądem oczkowym $i$.
Masa: Masa $M$ to cewka $L$. Ponieważ masa ma prędkość względem inercjalnego układu odniesienia, cewka musi być w gałęzi, przez którą płynie tylko prąd tego oczka (nie może być współdzielona z innym oczkiem dynamicznym).
Elementy łączące: Elementy (sprężyna $K$, tłumik $D$) znajdujące się między dwiema masami (różnica prędkości $v_1 - v_2$) stają się elementami ($C, R$) we wspólnej gałęzi między dwoma oczkami (różnica prądów $i_1 - i_2$).
Siła: Siła $F$ staje się źródłem napięcia $u$ w oczku.

Źródła: Wykład 1 (slajdy 1-18), Zadania 2019, Ćwiczenia 3.

Układy Dyskretne

1. Różnica vs Różniczka

W układach dyskretnych czas płynie skokowo ($t = kT_s$). Zamiast pochodnych mamy różnice, a zamiast całek – sumy.

Równanie różnicowe (Dyskretne):
$$ y(k) + a_1 y(k-1) + \dots + a_n y(k-n) = b_0 u(k) + \dots + b_m u(k-m) $$
Przestrzeń Stanu:
$$ x(k+1) = A_D x(k) + B_D u(k) $$ $$ y(k) = C_D x(k) + D_D u(k) $$

2. Transformata Z (Narzędzie główne)

Odpowiednik Transformaty Laplace'a dla sygnałów dyskretnych. Pozwala zamienić równania różnicowe na algebraiczne.

$$ F(z) = \mathcal{Z}\{f(k)\} = \sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{-k} $$

Własności (Kluczowe do zadań):

Przesunięcie w prawo (opóźnienie): $ \mathcal{Z}\{f(k-m)\} = z^{-m}F(z) $ [cite: 598]
Przesunięcie w lewo (wyprzedzenie): $ \mathcal{Z}\{f(k+1)\} = zF(z) - zf(0) $ [cite: 601]
Twierdzenie o wartości końcowej: $ \lim_{k\to\infty} f(k) = \lim_{z\to 1} (z-1)F(z) $ [cite: 605]

Tabela Transformat (Ściąga):

Sygnał w czasie $ f(k) $	Transformata $ F(z) $	Obszar zbieżności
Impuls Diraca $ \delta(k) $	$$ 1 $$	Cała płaszczyzna
Skok jednostkowy $ 1(k) $	$$ \frac{z}{z-1} $$	$ \|z\| > 1 $
Rampa $ k \cdot 1(k) $	$$ \frac{z}{(z-1)^2} $$	$ \|z\| > 1 $
Wykładnicza $ a^k 1(k) $ (np. $ e^{-\alpha k} $)	$$ \frac{z}{z-a} $$	$ \|z\| > \|a\| $
Sinus $ \sin(\omega k) $	$$ \frac{z \sin(\omega)}{z^2 - 2z \cos(\omega) + 1} $$	$ \|z\| > 1 $

3. Transmitancja Dyskretna i Dyskretyzacja

Transmitancja $K(z)$ to stosunek transformaty wyjścia do wejścia przy zerowych warunkach początkowych.

$$ K(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_m z^m + \dots + b_0}{z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0} $$

Dyskretyzacja z ZOH (Ekstrapolator Zerowego Rzędu)

Jeśli masz obiekt ciągły $K(s)$ i chcesz go sterować cyfrowo (próbkowanie co $T_s$), musisz obliczyć jego dyskretny odpowiednik:

$$ K(z) = (1 - z^{-1}) \mathcal{Z} \left\{ \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{K(s)}{s} \right]_{t=kT_s} \right\} $$

Przykład (I rzędu): [cite: 863-873]
Dla $ K(s) = \frac{k}{1+sT} $: $$ K(z) = \frac{k(1-D)}{z-D}, \quad \text{gdzie } D = e^{-T_s/T} $$

4. Jak wyznaczyć odpowiedź układu y(k)? (Cookbook)

Masz $K(z)$ i wymuszenie $U(z)$. Chcesz znaleźć $y(k)$.

Metoda A: Dzielenie Wielomianów (Dla początkowych próbek)

Jeśli potrzebujesz tylko $y(0), y(1), y(2)$...

Zapisz $ Y(z) = K(z)U(z) $ jako jeden ułamek.
Podziel licznik przez mianownik (jak pisemne dzielenie wielomianów), porządkując potęgi od najwyższej.
Wynik dzielenia to szereg: $ c_0 + c_1 z^{-1} + c_2 z^{-2} + \dots $
Współczynniki to kolejne próbki: $ y(0)=c_0, y(1)=c_1, \dots $ [cite: 656]

Metoda B: Ułamki Proste (Dla wzoru ogólnego)

Podziel $ \frac{Y(z)}{z} $. (Ważne! Dzielimy przez "z" na początku).
Rozłóż wynik na ułamki proste: $ \frac{A}{z-p_1} + \frac{B}{z-p_2} $.
Pomnóż z powrotem przez "z": $ Y(z) = \frac{A z}{z-p_1} + \frac{B z}{z-p_2} $.
Skorzystaj z tabeli (wzór na $ a^k $): $ y(k) = A (p_1)^k + B (p_2)^k $. [cite: 721]

Źródła: Wykład 2 (slajdy 1-32), Zadania z transformat.

Stabilność Układów

Stabilność Układów Dynamicznych

1. Definicje Stabilności (Asymptotycznej)

Układ jest stabilny asymptotycznie, jeśli po wytrąceniu z równowagi (warunki początkowe) i przy braku wymuszenia, samoczynnie powraca do punktu równowagi (zera) po czasie.

Układ Ciągły (DLSC):
$$ \lim_{t \to \infty} x(t) = 0 $$ Warunek: Wszystkie wartości własne $s_i$ (bieguny) muszą mieć ujemną część rzeczywistą.
$$ Re(s_i) < 0 $$

Układ Dyskretny (DLSD):
$$ \lim_{k \to \infty} x(k) = 0 $$ Warunek: Wszystkie wartości własne $z_i$ muszą leżeć wewnątrz koła jednostkowego.
$$ |z_i| < 1 $$

2. Badanie Układów Ciągłych (Kryterium Hurwitza)

Stosujemy, gdy mamy wielomian charakterystyczny $ M(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \dots + a_n = 0 $.

Warunek Konieczny (WK):

Wszystkie współczynniki $a_i$ muszą istnieć i mieć ten sam znak (zazwyczaj $ > 0 $). Jeśli brakuje jakiejś potęgi $s$ lub znak jest inny -> NIESTABILNY.

Warunek Konieczny i Wystarczający (WKW) - Twierdzenie Hurwitza:

Wszystkie podwyznaczniki główne macierzy Hurwitza muszą być dodatnie ($\Delta_i > 0$).

Gotowce dla niskich rzędów (Warto zapamiętać!):

Rząd 1 ($a_0 s + a_1$): Stabilny, jeśli $ a_0, a_1 > 0 $.
Rząd 2 ($a_0 s^2 + a_1 s + a_2$): Stabilny, jeśli wszystkie współczynniki $ > 0 $ (WK jest WKW).
Rząd 3 ($a_0 s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3$):
1. Wszystkie $ a_i > 0 $.
2. Warunek iloczynowy: $$ a_1 a_2 - a_0 a_3 > 0 $$ (czyli "środkowe > skrajne").

Granica stabilności: Występuje, gdy $ \Delta_{n-1} = 0 $ (np. dla 3. rzędu $ a_1 a_2 = a_0 a_3 $). Wtedy układ może mieć niegasnące oscylacje.

3. Badanie Układów Dyskretnych

Mamy wielomian $ M(z) = 0 $. Sprawdzamy, czy pierwiastki są $ |z| < 1 $.

Metoda A: Obliczanie pierwiastków (Dla rzędu 1 i 2)

Dla $ z^2 + az + b = 0 $, oblicz deltę i pierwiastki. Jeśli moduł każdego $ < 1 $, układ jest stabilny.

Metoda B: Transformacja Biliniowa + Hurwitz (Dla wyższych rzędów)

Jeśli nie chcesz liczyć pierwiastków zespolonych lub rząd jest wysoki:

Podstaw za $ z $ wyrażenie: $$ z = \frac{s+1}{s-1} $$
Uporządkuj otrzymane równanie względem potęg $s$.
Zbadaj powstały wielomian $ M(s) $ kryterium Hurwitza (jak dla układów ciągłych).
Jeśli $ M(s) $ jest stabilny (części rzeczywiste < 0), to oryginalny układ dyskretny $ M(z) $ też jest stabilny (moduły < 1).

Źródła: Wykład 3 (slajdy 1-23), Zadania cw5_sos.

Przestrzeń Stanu: Sterowalność i Obserwowalność

1. Opis w Przestrzeni Stanu

Standardowy zapis układu dynamicznego (zarówno ciągłego jak i dyskretnego):

Równanie Stanu (Dynamika):
$$ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) $$ Równanie Wyjścia (Sensor):
$$ y(t) = Cx(t) + Du(t) $$

A – Macierz stanu ($n \times n$). Decyduje o stabilności.
B – Macierz sterowań ($n \times r$). Mówi jak wejście wpływa na stan.
C – Macierz wyjść ($m \times n$). Mówi co mierzymy.
D – Macierz przenoszenia bezpośredniego (zazwyczaj $0$).
n – Rząd układu (liczba zmiennych stanu).

2. Sterowalność (Controllability)

Układ jest sterowalny, jeśli odpowiednim sterowaniem możemy przeprowadzić go z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego w skończonym czasie[cite: 1522].

Warunek Kalmana (Dla układów ciągłych i dyskretnych):
Tworzymy macierz sterowalności $\mathcal{S}$ o wymiarach $n \times (n \cdot r)$: $$ \mathcal{S} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix} $$
Układ jest sterowalny, gdy rząd tej macierzy jest pełny: $$ \text{rank}(\mathcal{S}) = n $$

Uwaga dla układów dyskretnych: Wzór jest identyczny, tylko zamiast macierzy $A, B$ używamy $P, Q$ z równania $x(k+1) = Px(k) + Qu(k)$[cite: 1758].

3. Obserwowalność (Observability)

Układ jest obserwowalny, jeśli na podstawie pomiaru wyjścia $y(t)$ i wejścia $u(t)$ możemy odtworzyć stan początkowy $x(0)$[cite: 1573].

Warunek Kalmana:
Tworzymy macierz obserwowalności $\mathcal{O}$ o wymiarach $(n \cdot m) \times n$: $$ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} $$
Układ jest obserwowalny, gdy rząd tej macierzy jest pełny: $$ \text{rank}(\mathcal{O}) = n $$

4. Jak to liczyć na kolokwium? (Cookbook)

Zazwyczaj $n=2$ lub $n=3$ i sterowanie jest pojedyncze (B to wektor).

Algorytm dla Sterowalności (n=2):

Wypisz macierz $B$.
Oblicz iloczyn $A \cdot B$.
Zapisz macierz $\mathcal{S} = [B \quad AB]$. Będzie to macierz $2 \times 2$.
Oblicz wyznacznik $\det(\mathcal{S})$.
Jeśli $\det \neq 0$ → Rząd = 2 → Układ Sterowalny.
Jeśli $\det = 0$ → Niesterowalny.

Algorytm dla Obserwowalności (n=2):

Wypisz macierz $C$.
Oblicz iloczyn $C \cdot A$. (Pamiętaj: wiersz razy kolumna!).
Zapisz macierz $\mathcal{O}$ wpisując $C$ w pierwszym wierszu, a $CA$ w drugim.
Oblicz wyznacznik $\det(\mathcal{O})$.
Jeśli $\det \neq 0$ → Układ Obserwowalny.

Wskazówka: Jeśli $n=3$, liczysz $A^2B$ (dla sterowalności) lub $CA^2$ (dla obserwowalności) i budujesz macierz $3 \times 3$. Liczysz wyznacznik (np. metodą Sarrusa). Różny od zera = OK.

Źródła: Wykład 4 (całość), Ćwiczenia 5 (Zad 5).

Linearyzacja i Charakterystyki

1. Linearyzacja Punktowa (Metoda Taylora)

Większość obiektów rzeczywistych jest nieliniowa (np. $q_{out} = \sqrt{h}$, $F = kx^3$). Aby zastosować transmitancję $K(s)$ lub macierze $A, B$, musimy układ zlinearyzować w konkretnym punkcie pracy.

Algorytm Linearyzacji (Cookbook):

Wyznacz Punkt Pracy $(x_0, u_0)$:
Punkt pracy to stan równowagi, gdzie pochodne są równe zero ($\dot{x} = 0$).
Podstawiasz $0$ za pochodne w równaniach nieliniowych i wyliczasz wartości stałe $x_0, y_0$ dla zadanego $u_0$.
Zapisz zmienne przyrostowe:
Operujemy na odchyłkach od punktu pracy:
$$ \Delta x = x - x_0, \quad \Delta u = u - u_0 $$
Rozwiń w szereg Taylora (Oblicz pochodne):
Funkcję nieliniową $f(x)$ zastępujemy linią styczną:
$$ f(x) \approx f(x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x_0} \cdot (x - x_0) $$
Przykład (Zadanie ze zbiornikiem):
Dla $ q = c\sqrt{h} $, pochodna to $ \frac{dq}{dh} = \frac{c}{2\sqrt{h}} $.
W punkcie $h_0$: $ \Delta q = \left( \frac{c}{2\sqrt{h_0}} \right) \Delta h $.
Zapisz równanie końcowe:
Podstaw zlinearyzowane składniki do równania różniczkowego. Wyraz wolny $f(x_0)$ zazwyczaj redukuje się ze stałym wymuszeniem. Otrzymujesz równanie wiążące $\Delta \dot{x}, \Delta x$ i $\Delta u$.

2. Charakterystyki Częstotliwościowe

Opisują jak układ reaguje na sygnał sinusoidalny o różnej częstotliwości. Podstawiamy $s = j\omega$ (ciągłe) lub $z = e^{j\omega T_s}$ (dyskretne).

Transmitancja Widmowa:
$$ K(j\omega) = |K(j\omega)| \cdot e^{j\phi(\omega)} $$
Moduł (Amplituda): $ M(\omega) = |K(j\omega)| $
(W decybelach: $ L(\omega) = 20\log_{10} M(\omega) $)
Faza: $ \phi(\omega) = \arg K(j\omega) $

Rodzaje Wykresów:

Wykres Bodego (Logarytmiczny):
- Górny wykres: $L(\omega)$ vs $\log(\omega)$.
- Dolny wykres: $\phi(\omega)$ vs $\log(\omega)$.
- Przydatny do szybkiej oceny stabilności i pasma przenoszenia.
Wykres Nyquista (Biegunowy):
- Rysujemy $Im(K)$ w funkcji $Re(K)$ na płaszczyźnie zespolonej.
- Wykres to "mapa" końców wektora $K(j\omega)$ dla $\omega \in (0, \infty)$.
- Dla układów dyskretnych częstotliwość rysujemy tylko do Częstotliwości Nyquista $\omega_N = \frac{\pi}{T_s}$.

Szybka analiza (Zadania cw1/cw2):

Jak narysować przybliżony wykres Nyquista mając wzór $K(s)$?

Sprawdź $\omega = 0$: Podstaw $s=0$. To jest punkt startowy na osi rzeczywistej (wzmocnienie statyczne $k$).
Sprawdź $\omega \to \infty$:
- Jeśli licznik ma niższy stopień niż mianownik, wykres dąży do $0$ (początku układu).
- Rząd układu ($n$) mówi, z której ćwiartki "wchodzi" do zera (każdy biegun to -90 stopni obrotu).
- Np. $n=1$ -> kończy w ćwiartce IV (-90°), $n=2$ -> kończy w ćwiartce II/III (przechodzi przez -180°).

Źródła: Ćwiczenia 4 (Linearyzacja), Wykład 2 (Charakterystyki dyskretne) [cite: 938-961], Ćwiczenia 1 i 2.

Schematy Rozwiązywania Zadań (Cookbook)

Schematy Zadań (Algorytmy Ratunkowe)

Tutaj znajdziesz skrócone instrukcje rozwiązywania typowych zadań egzaminacyjnych.

1. Zadanie: "Narysuj Analog Elektryczny"

Przykład: Zadanie 1 z egzaminu 2019 [cite: 1781-1792].

Wariant A: Analog II Rodzaju (Siła → Prąd) - ZALECANY

Jest łatwiejszy, bo zachowuje strukturę (topologię) układu mechanicznego.

Analiza mas: Ile masz niezależnych mas? Tyle będziesz miał węzłów "gorących" (plus masa odniesienia).
Rysowanie węzłów: Narysuj linię masy na dole i kropki (węzły) dla każdej prędkości $v_1, v_2$.
Masy $M$: Każdą masę podłącz jako kondensator $C$ między jej węzeł a masę odniesienia.
Sprężyny $K$ i Tłumiki $D$:
- Jeśli element jest między dwiema masami – wstaw $L$ (cewkę) i $G$ (rezystor równoległy) między te dwa węzły.
- Jeśli element łączy masę ze ścianą – wstaw $L$ lub $G$ między węzeł a masę odniesienia.
Wymuszenie $F$: Siłę działającą na masę zamień na źródło prądowe podłączone do tego węzła.

Wariant B: Analog I Rodzaju (Siła → Napięcie)

Każda masa to oddzielne oczko.
Masy $M$ zamień na cewki $L$ (w gałęziach nie-wspólnych).
Elementy łączące masy ($K, D$) zamień na $C, R$ w gałęziach wspólnych między oczkami.
Siły $F$ zamień na źródła napięcia.

2. Zadanie: "Zlinearyzuj układ i wyznacz transmitancję"

Przykład: Zadanie 3 (Wahadło) lub Zadanie 4 (Nieliniowa sprężyna) [cite: 1802-1814, 1990-1999].

Znajdź Punkt Pracy: Przyjmij pochodne równe zero ($\dot{x} = 0, \ddot{x} = 0$). Rozwiąż równanie statyczne (np. $ M_0 = mg \sin(\alpha_0) $).
Zdefiniuj przyrosty: $ x(t) = x_0 + \Delta x(t) $, $ u(t) = u_0 + \Delta u(t) $.
Oblicz pochodne cząstkowe (Szereg Taylora): Dla każdego elementu nieliniowego $ f(x) $ oblicz stałą $ k = \frac{df}{dx}|_{x_0} $.
Przykład: $ f(x) = k x^2 \rightarrow \frac{df}{dx} = 2kx \rightarrow \text{w p.p: } 2kx_0 \cdot \Delta x $.
Zapisz równanie różniczkowe: Zastąp nieliniowe funkcje wyrażeniami liniowymi: $ \text{Stała} + \text{Współczynnik} \cdot \Delta x $. Stałe się skrócą.
Transformata Laplace'a: Zamień $ \Delta \dot{x} \to s \Delta X(s) $. Wyznacz $ \frac{\Delta Y(s)}{\Delta U(s)} $.

3. Zadanie: "Zbadaj stabilność układu"

Dla układu ciągłego (wielomian M(s)):

Test znaków: Czy wszystkie współczynniki istnieją i są dodatnie? Jeśli nie → Niestabilny.
Dla 3. rzędu ($s^3$): Sprawdź czy "iloczyn środkowych > iloczyn skrajnych" ($a_1 a_2 > a_0 a_3$).
Dla wyższych: Buduj tablicę Hurwitza i licz wyznaczniki.

Dla układu dyskretnego (wielomian M(z)):

Oblicz pierwiastki (delta).
Jeśli moduł każdego pierwiastka $ |z_i| < 1 $ → Stabilny.
Jeśli choć jeden $ |z_i| > 1 $ → Niestabilny.
Jeśli $ |z_i| = 1 $ → Granica stabilności.

4. Zadanie: "Sprawdź sterowalność i obserwowalność"

Przykład: Zadanie 3 z części teoretycznej 2019 [cite: 1821-1838].

Sterowalność (Czy da się sterować?):

Masz macierz $A$ i wektor $B$.
Oblicz $ A \cdot B $.
Zbuduj macierz Kalmana $ S = [B \quad AB] $.
Oblicz wyznacznik $ \det(S) $.
$ \det \neq 0 $ → TAK, sterowalny.

Obserwowalność (Czy da się widzieć?):

Masz macierz $A$ i wektor $C$.
Oblicz $ C \cdot A $.
Zbuduj macierz Kalmana $ O = \begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix} $.
Oblicz wyznacznik $ \det(O) $.
$ \det \neq 0 $ → TAK, obserwowalny.

Źródła: Egzamin 2019_1, Ćwiczenia 3, 4, 5.

Symulator Egzaminu AiSUD

Sprawdź swoją wiedzę. Kliknij przycisk, aby wylosować 3 pytania z bazy (Teoria + Zadania).

Kliknij przycisk powyżej, aby rozpocząć test.

Pełna Baza Pytań i Odpowiedzi

Wszystkie 29 pytań teoretycznych w jednym miejscu. Idealne do szybkiej powtórki.

Wielkość / Element	Mechaniczny (Translacja)	Analog I Rodzaju (Siła → Napięcie) [cite: 100]	Analog II Rodzaju (Siła → Prąd) [cite: 241]
Zmienna przepływu	Prędkość \( v \)	Prąd \( i \)	Napięcie \( u \)
Zmienna wysiłku	Siła \( F \)	Napięcie \( u \)	Prąd \( i \)
Element inercyjny (gromadzi \(E_k\))	Masa \( m \)	Indukcyjność \( L \)	Pojemność \( C \)
Element sprężysty (gromadzi \(E_p\))	Sprężyna \( K \)	Pojemność \( 1/C \) (Odwrotność!)	Indukcyjność \( 1/L \) (Odwrotność!)
Element rozpraszający (traci moc)	Tłumik \( D \)	Rezystancja \( R \)	Konduktancja \( G = 1/R \)
Prawo Kirchhoffa	Bilans sił (d'Alembert)	II prawo (Napięciowe)	I prawo (Prądowe)
Topologia	Połączenie Równoległe (wspólna prędkość)	Połączenie Szeregowe (wspólny prąd)	Połączenie Równoległe (wspólne napięcie)

Sygnał w czasie \( f(k) \)	Transformata \( F(z) \)	Obszar zbieżności
Impuls Diraca \( \delta(k) \)	$$ 1 $$	Cała płaszczyzna
Skok jednostkowy \( 1(k) \)	$$ \frac{z}{z-1} $$	\( \|z\| > 1 \)
Rampa \( k \cdot 1(k) \)	$$ \frac{z}{(z-1)^2} $$	\( \|z\| > 1 \)
Wykładnicza \( a^k 1(k) \) (np. \( e^{-\alpha k} \))	$$ \frac{z}{z-a} $$	\( \|z\| > \|a\| \)
Sinus \( \sin(\omega k) \)	$$ \frac{z \sin(\omega)}{z^2 - 2z \cos(\omega) + 1} $$	\( \|z\| > 1 \)

Rodzaj elementu	Translacja (Mech)	Rotacja (Mech)	Elektryczny
Kinetyczna \(E_k\) (Bezwładność)	$$ \frac{1}{2}mv^2 $$	$$ \frac{1}{2}J\omega^2 $$	$$ \frac{1}{2}Li^2 $$
Potencjalna \(E_p\) (Sprężystość)	$$ \frac{1}{2}Kx^2 $$	$$ \frac{1}{2}K_r\alpha^2 $$	$$ \frac{1}{2}\frac{q_e^2}{C} $$
Dyssypacja \(P\) (Tłumienie)	$$ Dv^2 $$	$$ D_r\omega^2 $$	$$ Ri^2 $$