Ciało o masie \(m\) zawieszone na sprężynie o współczynniku sprężystości \(k\) po wychyleniu z położenia równowagi podlega działaniu siły harmonicznej \(F = -kx\). Zgodnie z II zasadą dynamiki, równanie ruchu ma postać:
Gdzie \(\omega_0\) to częstość drgań własnych:
Rozwiązaniem równania jest funkcja cosinus:
Prędkość \(v\) i przyspieszenie \(a\):
Energia całkowita \(E_M\) jest sumą energii kinetycznej \(E_k\) i potencjalnej \(U\):
Energia mechaniczna w ruchu harmonicznym (bez tłumienia) jest stała i proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Siłą przywracającą równowagę jest składowa siły ciężkości styczna do toru: \(F_s = -mg \sin\alpha\). Dla małych kątów wychylenia (\(\alpha \approx \sin\alpha\)), równanie ruchu przyjmuje postać oscylatora harmonicznego:
Stąd kwadrat częstości własnej \(\omega_0^2 = \frac{g}{l}\). Okres drgań wahadła matematycznego wynosi:
Wzór ten jest słuszny tylko dla małych amplitud!
W rzeczywistych układach występują siły oporu (np. opór lepki), które powodują stratę energii. Siłę oporu modelujemy jako \(F_r = -r v\), gdzie \(r\) to współczynnik oporu.
Gdzie \(\beta = \frac{r}{2m}\) to współczynnik tłumienia.
Dla słabego tłumienia (\(\beta < \omega_0\)) rozwiązaniem jest:
Gdzie \(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\) to częstość drgań tłumionych (jest mniejsza niż \(\omega_0\)). Amplituda drgań maleje wykładniczo: \(A(t) = A_0 e^{-\beta t}\).
Miara szybkości zaniku drgań. Jest to logarytm naturalny ze stosunku dwóch kolejnych amplitud odległych o okres \(T\):
Parametr opisujący jak "dobre" są drgania (im wyższa dobroć, tym słabsze tłumienie). Dla słabego tłumienia:
Gdzie \(E\) to energia układu, a \(\Delta E_T\) to strata energii w ciągu jednego okresu.
Układ drgający poddany działaniu zewnętrznej siły okresowej \(F = F_0 \cos(\Omega t)\). Równanie ruchu:
Gdzie \(f_0 = F_0/m\), a \(\Omega\) to częstość siły wymuszającej.
Po zaniku drgań własnych, układ drga z częstością siły wymuszającej \(\Omega\):
Amplituda drgań wymuszonych zależy od \(\Omega\):
Częstość rezonansowa (dla amplitudy) wynosi:
Im mniejsze tłumienie \(\beta\), tym "ostrzejszy" i wyższy jest pik rezonansowy oraz \(\Omega_r\) jest bliższe \(\omega_0\).
Szeregowy obwód elektryczny składający się z opornika \(R\), cewki \(L\) i kondensatora \(C\), podłączony do źródła napięcia przemiennego \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \cos(\Omega t)\).
Z II prawa Kirchhoffa wynika równanie dla ładunku \(q\) na kondensatorze:
Jest to ścisła analogia do mechanicznych drgań wymuszonych. Dzieląc przez \(L\) otrzymujemy postać kanoniczną:
Rozwiązania dla ładunku \(q(t)\) i natężenia prądu \(i(t) = dq/dt\) są analogiczne jak dla wychylenia i prędkości w układzie mechanicznym.
Cząsteczki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, nie przemieszczają się wraz z falą na duże odległości, lecz wykonują jedynie drgania wokół swoich położeń równowagi. Przemieszcza się natomiast faza drgań i energia.
Rozważmy falę płaską rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi \(x\). Jeśli źródło w punkcie \(x=0\) drga zgodnie z równaniem \(\xi(0,t) = A_0 \cos(\omega t)\), to do punktu odległego o \(x\) zaburzenie dotrze z opóźnieniem \(\tau = x/v\). Wychylenie \(\xi(x,t)\) wynosi:
Wprowadzamy wielkość zwaną liczbą falową \(k\):
Gdzie \(\lambda = vT\) to długość fali (odległość, jaką fala przebywa w czasie jednego okresu).
W ogólnym przypadku (z uwzględnieniem fazy początkowej \(\varphi\)):
Jest to prędkość, z jaką przemieszczają się powierzchnie o stałej fazie (np. grzbiety fali). Warunek stałej fazy: \(\omega t - kx = \text{const}\). Różniczkując po czasie, otrzymujemy:
Równanie fali jest rozwiązaniem ogólnego równania różniczkowego zwanego równaniem falowym. Wiąże ono drugą pochodną wychylenia po położeniu z drugą pochodną po czasie:
Lub krócej, używając operatora Laplace'a (\(\nabla^2\)):
Prędkość rozchodzenia się fali mechanicznej zależy od własności sprężystych i inercyjnych ośrodka.
Fala mechaniczna przenosi energię (zarówno kinetyczną cząstek ośrodka, jak i potencjalną deformacji). Średnia gęstość energii \(\langle w \rangle\) (energia przypadająca na jednostkę objętości) jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstości:
gdzie \(\rho\) to gęstość ośrodka.
Strumień energii \(\Phi\) to ilość energii przepływającej przez daną powierzchnię w jednostce czasu (wymiar mocy [W]).
Natężenie fali \(I\) to średni strumień energii przepływający przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali:
Jednostką natężenia fali jest \([W/m^2]\).
W przypadku źródła punktowego w ośrodku izotropowym, fala rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo. Powierzchnie falowe są sferami.
Ponieważ energia rozkłada się na coraz większą powierzchnię sfery (\(S = 4\pi r^2\)), a natężenie fali musi maleć jak \(1/r^2\) (zasada zachowania energii), to amplituda fali kulistej musi maleć odwrotnie proporcjonalnie do odległości \(r\) od źródła (\(A \propto 1/r\)).
W przeciwieństwie do fali płaskiej (nietłumionej), amplituda fali kulistej maleje wraz z odległością nawet w ośrodku niepochłaniającym, co wynika z geometrii rozchodzenia się energii.
Fale akustyczne (dźwiękowe) to podłużne fale sprężyste rozchodzące się w ośrodkach materialnych (gazy, ciecze, ciała stałe). W gazach i cieczach polegają one na rozchodzeniu się zaburzeń gęstości i ciśnienia (zagęszczenia i rozrzedzenia ośrodka).
Zakres słyszalności dla ucha ludzkiego to częstotliwości od 16 Hz do 20 kHz.
Natężenie dźwięku \(I\) to ilość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali ($[W/m^2]$).
Ucho ludzkie reaguje na natężenie dźwięku w sposób nieliniowy (logarytmiczny). Dlatego wprowadza się pojęcie poziomu natężenia dźwięku (głośności) \(L\), wyrażanego w decybelach [dB]:
Jeżeli źródło dźwięku porusza się z prędkością \(v_z\), a obserwator z prędkością \(v_o\) (wzdłuż prostej łączącej źródło i obserwatora), to częstotliwość \(f\) odbierana przez obserwatora wynosi:
Zapamiętaj: Zbliżanie się obserwatora do źródła lub źródła do obserwatora zawsze powoduje wzrost odbieranej częstotliwości (dźwięk wyższy).
W teorii kinetyczno-molekularnej gaz traktujemy jako zbiór ogromnej liczby cząsteczek (molekuł) będących w nieustannym, chaotycznym ruchu. Ciśnienie gazu na ścianki naczynia jest wynikiem zderzeń molekuł ze ściankami i przekazywania im pędu.
Ciśnienie \(P\) wywierane przez gaz doskonały jest wprost proporcjonalne do koncentracji molekuł \(n\) (liczba cząstek w jednostce objętości) oraz średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek:
Równanie stanu wiąże parametry termodynamiczne gazu: ciśnienie \(P\), objętość \(V\) i temperaturę \(T\).
Dla \(n_{moli}\) moli gazu doskonałego:
Wprowadzając stałą Boltzmanna \(k = R/N_A\) (gdzie \(N_A\) to liczba Avogadro), równanie można zapisać w postaci mikroskopowej:
Z porównania wzoru na ciśnienie (13.2) i równania stanu wynika bezpośredni związek temperatury ze średnią energią kinetyczną: $$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $$ Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek.
Liczba niezależnych współrzędnych potrzebnych do opisania położenia cząsteczki:
Średnia energia kinetyczna cząsteczki wynosi:
Uwaga: W wysokich temperaturach mogą wzbudzać się dodatkowe stopnie swobody związane z drganiami atomów w cząsteczce (drgania wnoszą energię kinetyczną i potencjalną, więc każdy mod drgań dodaje \(2 \times \frac{1}{2}kT = kT\)).
W gazie doskonałym, będącym w stanie równowagi termodynamicznej, prędkości cząsteczek są różne. Prawdopodobieństwo znalezienia molekuły o prędkości z przedziału \((v, v+dv)\) opisuje funkcja rozkładu Maxwella \(F(v)\):
Gdzie \(m\) – masa cząsteczki, \(T\) – temperatura bezwzględna, \(k\) – stała Boltzmanna.
Na podstawie funkcji rozkładu można wyznaczyć charakterystyczne prędkości molekuł:
Zależność między nimi: \(v_{pr} < \langle v \rangle < v_{sr.kw}\).
Ciśnienie gazu w polu grawitacyjnym maleje wraz z wysokością \(h\). Dla gazu o stałej temperaturze \(T\) zależność ta wyraża się wzorem:
Ponieważ ciśnienie jest proporcjonalne do koncentracji cząsteczek \(n\) (\(P=nkT\)), to koncentracja zmienia się analogicznie: \(n(h) = n_0 \exp\left(-\frac{m_0 gh}{kT}\right)\).
Wzór barometryczny jest szczególnym przypadkiem ogólnego prawa statystycznego. Jeżeli cząstki znajdują się w zewnętrznym polu sił zachowawczych (np. grawitacyjnym, elektrycznym), to ich koncentracja \(n\) w miejscu, gdzie energia potencjalna wynosi \(U\), jest dana wzorem:
Jest to zasada zachowania energii dla procesów cieplnych. Ciepło \(\delta Q\) dostarczone do układu zużywane jest na zmianę jego energii wewnętrznej \(dU\) oraz na wykonanie pracy \(\delta W\) przez układ przeciwko siłom zewnętrznym:
Dla gazu wykonującego pracę objętościową: \(\delta W = P dV\).
Określa kierunek procesów termodynamicznych. Sformułowania:
Entropia każdego ciała dąży do zera, gdy jego temperatura dąży do zera bezwzględnego: $$ \lim_{T \to 0} S = 0 $$
Entropia \(S\) jest miarą nieuporządkowania układu. Zależy ona od wagi statystycznej \(\Omega\) (liczby mikrostanów realizujących dany makrostan):
Stan równowagi termodynamicznej to stan o największym prawdopodobieństwie (maksymalnej entropii).
Dla procesu odwracalnego przyrost entropii definiuje się jako stosunek ciepła wymienionego do temperatury:
Dla procesów nieodwracalnych (w układzie izolowanym): \(dS > 0\).
Funkcje stanu, których różniczki zupełne określają właściwości układu termodynamicznego.
Z I zasady termodynamiki dla procesu odwracalnego (\(dU = TdS - PdV\)):
Różniczka: \(dH = TdS + VdP\).
Zmiana entalpii jest równa ciepłu dostarczonemu w procesie izobarycznym (\(\delta Q_P = dH\)).
Różniczka: \(dF = -SdT - PdV\).
Zmiana energii swobodnej określa pracę wykonaną w odwracalnym procesie izotermicznym.
Różniczka: \(dG = VdP - SdT\).
W procesach izotermiczno-izobarycznych (\(T=\text{const}, P=\text{const}\)) stan równowagi odpowiada minimum potencjału Gibbsa.
Cykl Carnota to teoretyczny, odwracalny cykl termodynamiczny, który składa się z czterech przemian:
Sprawność \(\eta\) silnika idealnego pracującego według cyklu Carnota zależy wyłącznie od temperatur źródeł ciepła:
Zjawiska transportu zachodzą w układach, w których naruszona została równowaga termodynamiczna (np. różnica temperatur, stężeń lub prędkości). Prowadzą one do przenoszenia energii, masy lub pędu. Dla małych odchyleń od równowagi gęstość strumienia przenoszonej wielkości jest proporcjonalna do gradientu parametru zaburzonego.
Opisuje je prawo Fouriera. Strumień ciepła płynie w kierunku niższego potencjału temperatury:
Gdzie \(\kappa\) to współczynnik przewodnictwa cieplnego.
Opisuje ją prawo Ficka. Strumień cząstek jest wywołany różnicą koncentracji \(n\):
Gdzie \(D\) to współczynnik dyfuzji.
Dotyczy sił tarcia wewnętrznego w płynach. Siła lepkości \(F\) działająca między warstwami o powierzchni \(S\) poruszającymi się z różnymi prędkościami \(v\) (prawo Newtona):
Gdzie \(\eta\) to współczynnik lepkości dynamicznej. Zjawisko to można interpretować jako transport pędu cząsteczek między warstwami płynu.
Siła oddziaływania między dwoma ładunkami punktowymi \(Q\) i \(q\) w próżni:
Natężenie pola elektrycznego \(\vec{E}\) to stosunek siły działającej na ładunek próbny do wartości tego ładunku (\(\vec{E} = \vec{F}/q\)).
Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą \(S\) jest równy całkowitemu ładunkowi \(Q_{wew}\) zawartemu wewnątrz tej powierzchni, podzielonemu przez przenikalność elektryczną:
W dielektrykach pole elektryczne ulega osłabieniu \(\epsilon_r\) razy w porównaniu z próżnią (gdzie \(\epsilon_r\) to względna przenikalność elektryczna).
W zewnętrznym polu elektrycznym dipole elektryczne w dielektryku porządkują się (polaryzacja orientacji) lub ładunki w cząsteczkach ulegają przesunięciu indukując moment dipolowy (polaryzacja elektronowa/indukcyjna).
Miarą tego stanu jest wektor polaryzacji \(\vec{P}\) – moment dipolowy jednostki objętości:
Dla dielektryków liniowych wektor polaryzacji jest proporcjonalny do natężenia pola:
Gdzie \(\chi\) to podatność elektryczna.
Aby opisać pole niezależnie od ładunków indukowanych w dielektryku, wprowadza się wektor indukcji:
Prawo Gaussa dla wektora \(\vec{D}\) zależy tylko od ładunków swobodnych \(Q_{sw}\):
W wyniku polaryzacji na powierzchni lub w objętości dielektryka pojawiają się nieskompensowane ładunki, zwane ładunkami związanymi. Nie mogą się one swobodnie przemieszczać (są związane z atomami), ale wytwarzają własne pole elektryczne.
Na powierzchni dielektryka pojawia się ładunek związany, którego gęstość powierzchniowa jest równa składowej normalnej wektora polaryzacji:
Gdzie \(\vec{n}\) to wersor normalny do powierzchni.
Wewnątrz niejednorodnie spolaryzowanego dielektryka może pojawić się nadmiarowy ładunek związany o gęstości objętościowej:
Zjawisko to jest odpowiedzialne za zmniejszenie natężenia pola elektrycznego wewnątrz dielektryka (pole od ładunków związanych jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego).
Ferroelektryki to grupa materiałów (kryształów) o bardzo dużej podatności elektrycznej, które wykazują tzw. polaryzację spontaniczną. Oznacza to, że mogą być spolaryzowane nawet przy braku zewnętrznego pola elektrycznego.
Wewnątrz ferroelektryka istnieją obszary zwane domenami, w których momenty dipolowe molekuł są uporządkowane (ustawione równolegle). W zewnętrznym polu elektrycznym domeny o zwrocie zgodnym z polem rozrastają się kosztem innych, co prowadzi do silnego namagnesowania.
Zależność wektora polaryzacji \(\vec{P}\) od natężenia pola elektrycznego \(\vec{E}\) jest nieliniowa i niejednoznaczna – zależy od historii magnesowania próbki. Zjawisko to nosi nazwę histerezy.
Powyżej pewnej charakterystycznej temperatury, zwanej temperaturą Curie, ferroelektryk traci swoje właściwości (uporządkowanie domen jest niszczone przez ruchy cieplne) i staje się zwykłym dielektrykiem (paraelektrykiem). Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru (\(BaTiO_3\)).
Proces ładowania kondensatora wymaga wykonania pracy przeciwko siłom odpychania ładunków już zgromadzonych na okładkach. Praca ta jest magazynowana w postaci energii pola elektrycznego. Energia \(W\) kondensatora o pojemności \(C\) naładowanego ładunkiem \(Q\) wynosi:
Energię można przypisać samemu polu elektrycznemu. Gęstość energii \(w_e\) (energia przypadająca na jednostkę objętości) w izotropowym dielektryku wyraża się wzorem:
Zjawisko to występuje w niektórych kryształach (np. kwarcu) i polega na pojawianiu się ładunków elektrycznych na powierzchni kryształu pod wpływem naprężeń mechanicznych (ściskania lub rozciągania).
Deformacja sieci krystalicznej powoduje przesunięcie jonów dodatnich i ujemnych względem siebie, co prowadzi do powstania wypadkowego momentu dipolowego (polaryzacji).
Jest to zjawisko polegające na deformacji mechanicznej (zmianie wymiarów) kryształu pod wpływem przyłożonego zewnętrznego pola elektrycznego. Zjawisko to wykorzystuje się m.in. do generowania ultradźwięków.
Pole magnetyczne jest polem sił działających na poruszające się ładunki elektryczne oraz na ciała posiadające moment magnetyczny. Pole to opisuje się za pomocą wektora indukcji magnetycznej \(\vec{B}\).
Wprowadza się również wektor natężenia pola magnetycznego \(\vec{H}\), który zależy tylko od prądów (źródeł pola), a nie od ośrodka:
Gdzie \(\mu\) to względna przenikalność magnetyczna, a \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, N/A^2\) to stała magnetyczna.
Określa ono indukcję pola magnetycznego \(d\vec{B}\) wytworzonego przez element przewodnika \(d\vec{l}\), w którym płynie prąd o natężeniu \(i\):
Wzór ten stanowi podstawę do obliczania pola magnetycznego od dowolnych układów prądów.
Na ładunek punktowy \(q\) poruszający się z prędkością \(\vec{v}\) w polu magnetycznym o indukcji \(\vec{B}\) działa siła magnetyczna:
Siła ta jest zawsze prostopadła do wektora prędkości i wektora indukcji. Nie wykonuje ona pracy (zmienia tylko kierunek ruchu, a nie wartość prędkości).
W obecności pola elektrycznego \(\vec{E}\) całkowita siła (siła Lorentza) wynosi: $$ \vec{F} = q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}] $$
Całka okrężna z wektora natężenia pola magnetycznego \(\vec{H}\) po dowolnym zamkniętym konturze jest równa sumie algebraicznej prądów objętych tym konturem:
Prawo to jest odpowiednikiem prawa Gaussa dla elektrostatyki i jest bardzo użyteczne przy obliczaniu pól o wysokiej symetrii (np. wewnątrz solenoidu).
Na element przewodnika \(d\vec{l}\) z prądem \(i\) umieszczony w polu magnetycznym działa siła:
W zewnętrznym polu magnetycznym materiał ulega namagnesowaniu – uzyskuje wypadkowy moment magnetyczny. Ilościowo opisuje to wektor namagnesowania \(\vec{J}\) (często oznaczany też jako \(\vec{M}\)), definiowany jako moment magnetyczny jednostki objętości:
Związek między indukcją magnetyczną \(\vec{B}\), natężeniem pola \(\vec{H}\) i namagnesowaniem \(\vec{J}\):
Dla większości materiałów namagnesowanie jest proporcjonalne do natężenia pola: \(\vec{J} = \chi \vec{H}\), gdzie \(\chi\) to podatność magnetyczna. Stąd \(\mu = 1 + \chi\).
Wytworzenie pola magnetycznego wymaga wykonania pracy przeciwko sile elektromotorycznej samoindukcji. Energia \(E_{mag}\) zgromadzona w zwojnicy o indukcyjności \(L\), przez którą płynie prąd \(I\), wynosi:
Energię można przypisać samemu polu magnetycznemu. Gęstość energii \(w_{mag}\) (energia na jednostkę objętości) w ośrodku o przenikalności \(\mu\) wyraża się wzorem:
Jest to wzór analogiczny do gęstości energii pola elektrycznego (\(w_{el} = \frac{1}{2} \vec{E} \circ \vec{D}\)).
Zmiana strumienia indukcji magnetycznej \(\Phi_B\) przez powierzchnię ograniczoną zamkniętym obwodem powoduje powstanie w tym obwodzie siły elektromotorycznej indukcji \(\mathcal{E}\):
Powstają w masywnych blokach przewodników znajdujących się w zmiennym polu magnetycznym. Są to prądy płynące w zamkniętych pętlach wewnątrz materiału.
James Clerk Maxwell zebrał i uzupełnił prawa elektryczności i magnetyzmu, tworząc jednolity system czterech równań. Poniżej przedstawiono ich postać różniczkową.
Źródłem pola elektrycznego (indukcji \(\vec{D}\)) są ładunki elektryczne o gęstości \(\rho\).
Pole magnetyczne jest bezźródłowe (nie istnieją monopole magnetyczne). Linie pola są krzywymi zamkniętymi.
Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne.
Źródłem wirowego pola magnetycznego jest prąd przewodzenia (gęstość \(\vec{j}\)) oraz prąd przesunięcia (zmienne pole elektryczne: \(\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\)). To właśnie dodanie prądu przesunięcia pozwoliło Maxwellowi przewidzieć istnienie fal elektromagnetycznych.
Z równań Maxwella w ośrodku nieprzewodzącym (\(\rho=0, \vec{j}=0\)) wynika, że pola \(\vec{E}\) i \(\vec{B}\) spełniają równanie falowe:
Prędkość rozchodzenia się tej fali w próżni (\(\epsilon=1, \mu=1\)) wynosi:
W płaskiej fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w kierunku osi \(x\):
Fala elektromagnetyczna przenosi energię. Całkowita gęstość energii \(w\) (energia w jednostce objętości) jest sumą gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego. Dla fali płaskiej oba składniki są sobie równe (\(w_E = w_B\)), zatem:
Opisuje strumień energii przenoszonej przez falę (ilość energii przepływającej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali).
Średnia wartość wektora Poyntinga to natężenie fali \(I\): $$ I = \langle S \rangle = \frac{1}{2} E_0 H_0 $$
Dyspersja to zależność prędkości fazowej fali \(v\) (a tym samym współczynnika załamania \(n\)) od jej częstości \(\omega\) (lub długości fali \(\lambda\)).
Fale rzeczywiste nie są idealnie monochromatyczne, lecz tworzą grupy (pakiety) fal. Prędkość przemieszczania się obwiedni pakietu (czyli prędkość przesyłania energii i informacji) to prędkość grupowa \(v_g\):
Związek z prędkością fazową \(v_f\):
W próżni (brak dyspersji) \(v_g = v_f = c\).
Światło to fala elektromagnetyczna o długościach z zakresu ok. 380 nm – 780 nm (zakres widzialny).
Prędkość światła w ośrodku materialnym \(v\) jest mniejsza niż w próżni \(c\). Miarą tego spowolnienia jest bezwzględny współczynnik załamania \(n\):
(Dla dielektryków niemagnetycznych \(\mu_r \approx 1\)).
Gdy światło przechodzi z jednego ośrodka do drugiego:
Optyka geometryczna to przybliżenie słuszne, gdy długość fali jest znikomo mała w porównaniu z wymiarami przeszkód (\(\lambda \to 0\)). Pomija zjawiska dyfrakcji i interferencji, posługując się pojęciem promienia świetlnego.
Matematycznie oznacza to minimalizację drogi optycznej \(L\): $$ \delta \int_{A}^{B} n(s) ds = 0 $$
Z zasady Fermata wynikają:
Interferencja to nakładanie się fal, prowadzące do trwałego wzmocnienia lub wygaszenia amplitudy w przestrzeni. Aby zaszła, fale muszą być spójne (koherentne), tzn. mieć tę samą częstotliwość i stałą w czasie różnicę faz.
Wynik interferencji zależy od różnicy dróg optycznych \(\Delta\) przebytych przez promienie: $$ \Delta = n_2 s_2 - n_1 s_1 $$
Klasycznym przykładem jest doświadczenie Younga (dwie szczeliny), gdzie na ekranie obserwuje się prążki interferencyjne.
Dyfrakcja (ugięcie) to ogół zjawisk związanych z odstępstwem od praw optyki geometrycznej przy rozchodzeniu się światła w pobliżu przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.
Dla szczeliny o szerokości \(a\), oświetlonej prostopadle falą płaską o długości \(\lambda\), warunek na minima natężenia światła (wygaszenie) pod kątem ugięcia \(\alpha\) ma postać:
Pomiędzy minimami występują maksima wtórne, a w kierunku pierwotnym (\(\alpha=0\)) występuje jasne maksimum główne.
Układ wielu równoległych szczelin rozmieszczonych w stałych odstępach \(d\) (stała siatki). Warunek na maksima główne (wzmocnienie) wynosi:
Siatka dyfrakcyjna pozwala na precyzyjne rozdzielenie składowych światła (analizę widmową).
Światło jest falą poprzeczną, co oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego \(\vec{E}\) drga prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.
Opisuje natężenie światła po przejściu przez polaryzator. Jeżeli na polaryzator pada światło spolaryzowane liniowo o natężeniu \(I_0\), a płaszczyzna polaryzacji tworzy kąt \(\varphi\) z osią przepustowości polaryzatora, to natężenie światła \(I\) po przejściu wynosi:
Promieniowanie cieplne to fale elektromagnetyczne emitowane przez ciała kosztem ich energii wewnętrznej. Jest to jedyny rodzaj promieniowania, który może pozostawać w równowadze termodynamicznej z materią.
Gustav Kirchhoff sformułował prawo dotyczące równowagi termodynamicznej promieniowania.
Funkcja \(f(\omega, T)\) jest zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego (dla którego \(a_\omega = 1\)). Oznacza to, że ciało, które silniej pochłania promieniowanie, musi je również silniej emitować.
Prawa te opisują promieniowanie ciała doskonale czarnego.
Całkowita zdolność emisyjna \(R\) ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej:
Gdzie \(\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \, W/(m^2 K^4)\) to stała Stefana-Boltzmanna.
Określa, przy jakiej długości fali \(\lambda_{max}\) przypada maksimum promieniowania (maksimum funkcji rozkładu widmowego):
Gdzie \(b \approx 2,9 \cdot 10^{-3} \, m \cdot K\) to stała Wiena. Wraz ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania przesuwa się w stronę fal krótszych (dlatego rozgrzane żelazo najpierw świeci na czerwono, a potem na biało).
Rozważmy wnękę, której ścianki mają temperaturę \(T\). Wewnątrz wnęki ustala się stan równowagi termodynamicznej promieniowania elektromagnetycznego. Istnieje ścisły związek między widmową gęstością energii promieniowania wewnątrz wnęki \(u(\omega, T)\) (energia przypadająca na jednostkę objętości i jednostkowy przedział częstości) a zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego \(f(\omega, T)\).
Strumień energii emitowany przez ścianki jest równoważony przez strumień energii padający na nie z wnętrza wnęki. Prowadzi to do zależności:
Gdzie \(c\) to prędkość światła. Wzór ten pozwala wyznaczyć funkcję Kirchhoffa, jeśli znana jest gęstość energii promieniowania we wnęce.
Opierając się na klasycznej zasadzie ekwipartycji energii, Rayleigh i Jeans założyli, że na każdą falę stojącą (mod własny) we wnęce przypada średnia energia \(kT\). Prowadziło to do wzoru na zdolność emisyjną:
Wzór ten jest zgodny z doświadczeniem tylko dla małych częstości (dużych długości fal). Dla dużych częstości (\(\omega \to \infty\)) przewiduje nieskończoną emisję energii, co nazwano "katastrofą w nadfiolecie".
Max Planck (1900 r.) wprowadził rewolucyjne założenie: energia oscylatorów emitujących promieniowanie nie jest ciągła, lecz kwantowana – może przyjmować tylko wartości dyskretne będące wielokrotnością porcji (kwantu) \(\hbar\omega\): $$ \mathcal{E}_n = n\hbar\omega $$
Średnia energia oscylatora wynosi wówczas: $$ \langle \mathcal{E} \rangle = \frac{\hbar\omega}{\exp(\frac{\hbar\omega}{kT}) - 1} $$
Prowadzi to do wzoru Plancka na zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego, który w pełni zgadza się z doświadczeniem:
Zjawiska takie jak zjawisko fotoelektryczne czy efekt Comptona potwierdzają, że promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje się jak strumień cząstek – fotonów.
Louis de Broglie (1924) wysunął hipotezę o dualizmie korpuskularno-falowym materii. Każdej cząstce o pędzie \(p\) odpowiada fala materii o długości \(\lambda\):
Doświadczalnym potwierdzeniem hipotezy jest dyfrakcja elektronów na kryształach (doświadczenie Davissona i Germera).
W świecie mikroskopowym nie można jednocześnie z dowolną precyzją zmierzyć pewnych par wielkości (zmiennych kanonicznie sprzężonych). Dla położenia \(x\) i pędu \(p_x\):
Oznacza to, że im dokładniej znamy położenie cząstki, tym mniej dokładnie znamy jej pęd (i odwrotnie). Podobna relacja wiąże energię i czas: \(\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar/2\).
Podstawowe równanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, opisujące ewolucję czasową funkcji falowej \(\Psi(\vec{r}, t)\):
Dla stanów stacjonarnych (gdy energia potencjalna nie zależy od czasu), funkcję falową można zapisać jako \(\Psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r}) \exp(-iEt/\hbar)\). Część przestrzenna \(\psi\) spełnia równanie:
Gdzie \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U\) to operator Hamiltona (hamiltonian), a \(E\) to całkowita energia cząstki.
Według interpretacji Borna, sama funkcja falowa \(\Psi\) nie ma bezpośredniego sensu fizycznego, ale kwadrat jej modułu określa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki:
Warunek normowania: prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni musi wynosić 1 (\(\int |\Psi|^2 dV = 1\)).
Rozważmy cząstkę swobodną o masie \(m\) uwięzioną w jednowymiarowym obszarze o szerokości \(a\) (od \(x=0\) do \(x=a\)). Potencjał wynosi: $$ U(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } 0 < x < a \\ \infty & \text{dla } x \le 0 \text{ i } x \ge a \end{cases} $$
Ponieważ cząstka nie może przebywać w obszarze nieskończonego potencjału, funkcja falowa na brzegach studni musi znikać: \(\psi(0) = 0\) i \(\psi(a) = 0\) (warunki brzegowe).
Rozwiązaniem równania Schrödingera wewnątrz studni są funkcje sinusoidalne. Warunki brzegowe narzucają ograniczenie na długość fali (w studni musi się mieścić całkowita liczba połówek fali), co prowadzi do dyskretyzacji (kwantowania) energii:
Funkcje falowe (stany własne) mają postać: $$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) $$
Rozwiązując równanie Schrödingera dla potencjału harmonicznego \(U(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\), otrzymujemy dyskretne poziomy energetyczne:
Klasycznie cząstka o energii \(E\) mniejszej od wysokości bariery potencjału \(U_0\) (\(E < U_0\)) odbije się od niej. W mechanice kwantowej istnieje niezerowe prawdopodobieństwo, że cząstka przeniknie przez barierę ("przetuneluje") i znajdzie się po jej drugiej stronie.
Prawdopodobieństwo tunelowania maleje wykładniczo wraz z szerokością i wysokością bariery. Zjawisko to odpowiada m.in. za rozpad alfa jąder atomowych czy działanie mikroskopu tunelowego (STM).
Stan elektronu w atomie (rozwiązanie równania Schrödingera dla potencjału kulombowskiego) opisują cztery liczby kwantowe:
Elektron posiada własny moment pędu zwany spinem, niezwiązany z ruchem orbitalnym. Jest to cecha wewnętrzna cząstki. Wartość spinu elektronu wynosi \(s = 1/2\).
Zasada ta determinuje budowę powłok elektronowych i układ okresowy pierwiastków:
Większość wiązań w ciałach stałych wynika z oddziaływań elektrostatycznych, zmodyfikowanych przez efekty kwantowe. Potencjał oddziaływania między dwoma atomami \(U(r)\) jest sumą członu przyciągającego (dominującego na dużych odległościach) i odpychającego (dominującego na bardzo małych odległościach).
Często stosowany model opisujący oddziaływania (np. van der Waalsa):
Położenie równowagi trwałe (\(r_0\)) odpowiada minimum energii potencjalnej (\(dU/dr = 0\)).
Rozpatrzmy powstawanie kryształu z \(N\) izolowanych atomów. W pojedynczym atomie elektrony zajmują ściśle określone, dyskretne poziomy energetyczne. Gdy atomy zbliżają się do siebie na odległości międzyatomowe (tworząc sieć krystaliczną), ich chmury elektronowe zaczynają się na siebie nakładać.
Zgodnie z zakazem Pauliego, elektrony w całym układzie nie mogą znajdować się w tym samym stanie kwantowym. Dlatego każdy poziom energetyczny izolowanego atomu rozszczepia się na \(N\) blisko położonych poziomów (gdzie \(N\) jest rzędu \(10^{23}\)). Zbiór tych gęsto ułożonych poziomów tworzy pasmo energetyczne (dozwolone).
Szerokość pasma nie zależy od liczby atomów \(N\), lecz od stopnia nakładania się funkcji falowych (siły oddziaływania sąsiednich atomów).
Właściwości elektryczne ciał stałych zależą od układu pasm energetycznych oraz stopnia ich zapełnienia przez elektrony w temperaturze \(0\,K\).
Elektron w krysztale nie jest cząstką swobodną, lecz porusza się w periodycznym polu potencjału wytwarzanym przez jony sieci krystalicznej. Siły te modyfikują jego ruch w zewnętrznym polu elektrycznym.
Aby zachować klasyczną postać II zasady dynamiki Newtona (\(\vec{F}_{zewn} = m^*\vec{a}\)) dla elektronu w sieci, wprowadza się pojęcie masy efektywnej. Zależy ona od krzywizny pasma energetycznego \(E(k)\) (zależności energii od wektora falowego):
Jest to najprostszy model opisujący metale. Zakłada on, że:
Określa liczbę dostępnych stanów kwantowych przypadających na jednostkowy przedział energii. Dla trójwymiarowego gazu elektronowego gęstość stanów rośnie proporcjonalnie do pierwiastka z energii:
(Często podaje się gęstość stanów na jednostkę objętości, dzieląc wzór przez \(V\)).
Prawdopodobieństwo \(f(E)\) obsadzenia przez elektron stanu kwantowego o energii \(E\) w temperaturze \(T\) wynosi:
Gdzie \(E_F\) to energia Fermiego (poziom Fermiego), a \(k\) to stała Boltzmanna.
W metalach prąd elektryczny jest przenoszony przez elektrony swobodne (gaz elektronowy). W zewnętrznym polu elektrycznym \(\vec{E}\) na chaotyczny ruch cieplny elektronów nakłada się uporządkowany ruch z prędkością unoszenia \(\vec{v}_u\).
Równanie ruchu elektronu z uwzględnieniem siły hamującej (związanej ze zderzeniami z drgającymi jonami sieci):
Gdzie \(\tau\) to czas relaksacji (średni czas między zderzeniami). W stanie ustalonym (\(d\vec{v}_u/dt = 0\)): $$ \vec{v}_u = -\frac{e\tau}{m}\vec{E} = -\mu \vec{E} $$
Wielkość \(\mu = \frac{e\tau}{m}\) nazywamy ruchliwością elektronów.
Gęstość prądu \(\vec{j}\) jest iloczynem ładunku, koncentracji \(n\) i prędkości unoszenia (\(\vec{j} = -en\vec{v}_u\)). Podstawiając wzór na prędkość, otrzymujemy mikroskopową postać prawa Ohma:
Gdzie \(\sigma\) to przewodność elektryczna właściwa:
Opór właściwy metali \(\rho = 1/\sigma\) rośnie wraz z temperaturą (zazwyczaj liniowo: \(\rho \sim T\)), ponieważ wzrost amplitudy drgań sieci zwiększa prawdopodobieństwo zderzeń (maleje \(\tau\)).
W metalach za transport ciepła odpowiadają głównie elektrony swobodne (te same, które przewodzą prąd), a nie drgania sieci krystalicznej (fonony), jak ma to miejsce w izolatorach. Dlatego metale, będące dobrymi przewodnikami prądu, są też świetnymi przewodnikami ciepła.
Stosunek przewodnictwa cieplnego \(\kappa\) do przewodnictwa elektrycznego \(\sigma\) dla większości metali jest wprost proporcjonalny do temperatury bezwzględnej \(T\):
Współczynnik proporcjonalności \(L\) nosi nazwę liczby Lorenza. Teoretyczna wartość (wynikająca z modelu gazu elektronowego):
Półprzewodniki to ciała stałe (np. Si, Ge, GaAs), w których w temperaturze \(0\,K\) pasmo walencyjne jest całkowicie zapełnione, a pasmo przewodnictwa puste. Różnią się od izolatorów szerokością przerwy wzbronionej \(E_g\), która jest na tyle mała (zwykle \(E_g < 2\,eV\)), że w temperaturze pokojowej możliwe są przeskoki elektronów do pasma przewodnictwa.
W półprzewodnikach prąd elektryczny przenoszą dwa rodzaje nośników:
W półprzewodniku idealnie czystym (samoistnym) nośniki powstają w wyniku termicznego wzbudzenia elektronów z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Każdemu wzbudzonemu elektronowi odpowiada jedna dziura, zatem koncentracja elektronów \(n\) jest równa koncentracji dziur \(p\):
Koncentracja samoistna \(n_i\) zależy wykładniczo od temperatury:
Całkowita gęstość prądu jest sumą prądów elektronowego i dziurowego. Przewodność wynosi:
W przeciwieństwie do metali, przewodność półprzewodników samoistnych rośnie wykładniczo wraz ze wzrostem temperatury (ponieważ gwałtownie rośnie liczba nośników \(n_i\), co przeważa nad spadkiem ruchliwości).
Właściwości elektryczne półprzewodników można drastycznie zmienić, wprowadzając niewielkie ilości atomów innych pierwiastków (domieszek).
W temperaturze pokojowej zazwyczaj wszystkie domieszki są zjonizowane (obszar nasycenia), a koncentracja nośników większościowych jest w przybliżeniu równa koncentracji domieszek.
Nadprzewodnictwo to zjawisko polegające na całkowitym zaniku oporu elektrycznego w niektórych materiałach (głównie metalach i ich stopach) po schłodzeniu ich poniżej pewnej temperatury charakterystycznej, zwanej temperaturą krytyczną \(T_c\).
Dla rtęci (historycznie pierwszy nadprzewodnik, Kamerlingh Onnes, 1911 r.) \(T_c \approx 4,2\,K\). W stanie nadprzewodzącym prąd może płynąć w zamkniętym obwodzie bez strat energii w nieskończoność.
Nadprzewodnik w stanie nadprzewodzącym wypycha pole magnetyczne ze swojego wnętrza. Indukcja magnetyczna wewnątrz nadprzewodnika wynosi zero:
Oznacza to, że nadprzewodnik zachowuje się jak idealny diamagnetyk o podatności magnetycznej \(\chi = -1\). Zjawisko to (lewitacja magnesu nad nadprzewodnikiem) jest podstawową cechą odróżniającą nadprzewodnik od idealnego przewodnika.
Istnieje graniczna wartość pola magnetycznego (pole krytyczne \(B_c(T)\)), po przekroczeniu której nadprzewodnictwo zostaje zniszczone i materiał wraca do stanu normalnego.
Mikroskopowa teoria nadprzewodnictwa (1957 r.) wyjaśnia to zjawisko powstawaniem tzw. par Coopera.