Zestaw Zadań: Reguła Wzmocnień Masona

Poniższe zadania reprezentują pełen przekrój struktur wielopętlowych spotykanych na kolokwiach. Każde zadanie należy rozwiązywać ściśle według algorytmu identyfikacji ścieżek i pętli układu otwartego.

Zadanie 1 (Podstawowe)

Dany jest układ o dwóch pętlach nachodzących na siebie. Wyznacz transmitancję zastępczą $G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ stosując regułę Masona.

- - K₁ K₂ H₁ H₂ X(s) Y(s)

Rozwiązanie:

  1. Ścieżki bezpośrednie: Istnieje tylko jedna droga prowadząca prosto od wejścia do wyjścia:
    $P_1 = K_1 \cdot K_2$
  2. Pętle sprzężenia zwrotnego: Układ posiada dwie ujemne pętle:
    • Pętla wewnętrzna: $L_1 = -K_1 \cdot H_1$
    • Pętla zewnętrzna: $L_2 = -K_1 \cdot K_2 \cdot H_2$
  3. Wyznacznik główny ($\Delta$): Obie pętle przechodzą przez wspólny blok $K_1$, co oznacza, że stykają się ze sobą. Suma iloczynów pętli niestykających się wynosi 0:
    $\Delta = 1 - (L_1 + L_2) = 1 + K_1 H_1 + K_1 K_2 H_2$
  4. Wyznaczniki ścieżek ($\Delta_k$): Ścieżka $P_1$ zawiera w sobie wszystkie bloki układu, dotykając obu pętli, stąd: $\Delta_1 = 1$.
  5. Transmitancja końcowa:
    $$G(s) = \frac{P_1 \Delta_1}{\Delta} = \frac{K_1 K_2}{1 + K_1 H_1 + K_1 K_2 H_2}$$
Zadanie 2 (Wielopętlowe - Klasyk z notatek)

Wyznacz transmitancję układu, w którym pętle ujemne i dodatnie nakładają się na siebie w strukturze krzyżowej.

Rozwiązanie:

Załóżmy dane strukturalne układu zidentyfikowane bezpośrednio ze schematu blokowego:

  • Ścieżki wprost: $P_1 = K_1 K_2 K_4$ oraz $P_2 = K_1 K_3 K_4$.
  • Pętle sprzężenia: Trzy pętle, z czego dwie ujemne i jedna dodatnia (wynikająca ze znaków sumatorów):
    • $L_1 = -K_1 K_2 K_3$
    • $L_2 = -K_1 K_3 K_5$
    • $L_3 = K_2 K_4$ (dodatnie sprzężenie zwrotne)
  1. Wyznacznik główny ($\Delta$): Wszystkie trzy pętle współdzielą węzły i bloki dynamiczne (stykają się ze sobą), brak członów niezależnych:
    $$\Delta = 1 - (L_1 + L_2 + L_3) = 1 + K_1 K_2 K_3 + K_1 K_3 K_5 - K_2 K_4$$
  2. Wyznaczniki ścieżek: Ścieżki $P_1$ oraz $P_2$ przechodzą przez główne gałęzie, stykając się fizycznie z każdą z pętli układu. Zatem: $\Delta_1 = 1$, $\Delta_2 = 1$.
  3. Transmitancja wypadkowa:
    $$G(s) = \frac{P_1 \Delta_1 + P_2 \Delta_2}{\Delta} = \frac{K_1 K_2 K_4 + K_1 K_3 K_4}{1 + K_1 K_2 K_3 + K_1 K_3 K_5 - K_2 K_4}$$
Zadanie 3 (Zaawansowane - Pętle Niestykające się)

Wyznacz transmitancję układu zawierającego pętle niezależne (niestykające się ze sobą w żadnym punkcie struktury).

Rozwiązanie:

Rozważmy strukturę rozległą szeregową, gdzie pętle są odizolowane przestrzennie:

  • Ścieżka wprost: $P_1 = K_1 K_2 K_3 K_4$.
  • Pętle sprzężenia: Układ posiada dwie pętle ujemne:
    • Pętla pierwsza (początek układu): $L_1 = -K_1 H_1$
    • Pętla druga (koniec układu): $L_2 = -K_4 H_2$
  1. Analiza styków (Klucz zadania): Pętla $L_1$ operuje wyłącznie na bloku $K_1$, natomiast pętla $L_2$ operuje wyłącznie na bloku $K_4$. Pętle te nie mają wspólnych węzłów ani bloków.
  2. Wyznacznik główny ($\Delta$): Zgodnie z pełnym wzorem Masona musimy uwzględnić iloczyn pętli niezależnych:
    $$\Delta = 1 - (L_1 + L_2) + (L_1 \cdot L_2) = 1 + K_1 H_1 + K_4 H_2 + (K_1 H_1 K_4 H_2)$$
  3. Wyznaczniki ścieżek: Ścieżka $P_1$ biegnie przez cały układ, więc dotyka obu pętli: $\Delta_1 = 1$.
  4. Transmitancja końcowa:
    $$G(s) = \frac{K_1 K_2 K_3 K_4}{1 + K_1 H_1 + K_4 H_2 + K_1 K_4 H_1 H_2}$$
Kompendium Ćwiczeń • Politechnika Śląska • Semestr 4