Zestaw Zadań: Kryterium Stabilności Hurwitza

Kryterium Hurwitza służy do algebraicznego badania stabilności układu zamkniętego na podstawie jego wielomianu charakterystycznego. Pamiętaj: zanim zbudujesz macierz, zawsze sprawdzaj warunek konieczny (znaki współczynników).

Zadanie 1 (Klasyczne z parametrem K)

Równanie charakterystyczne układu regulacji trzeciego rzędu ma postać: $$M(s) = s^3 + 6s^2 + 11s + K = 0$$ Wyznacz zakres wartości wzmocnienia $K$, dla którego układ zamknięty pozostaje stabilny.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Warunek konieczny
    Wszystkie współczynniki wielomianu muszą być ściśle większe od zera ($a_i > 0$). Ponieważ $a_3=1, a_2=6, a_1=11$, otrzymujemy pierwszy warunek graniczny:
    $$K > 0$$
  2. Krok 2: Budowa macierzy Hurwitza ($\Delta_3$)
    Dla wielomianu stopnia $n=3$ macierz przyjmuje niezmienną, szachownicową strukturę składającą się ze współczynników:
    $$H = \begin{bmatrix} a_2 & a_0 & 0 \\ a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & a_2 & a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & K & 0 \\ 1 & 11 & 0 \\ 0 & 6 & K \end{bmatrix}$$
  3. Krok 3: Wyznaczenie głównych minorów
    Układ jest stabilny, jeśli wszystkie minory wiodące są dodatnie:
    • $\Delta_1 = a_2 = 6 > 0$ (warunek spełniony automatycznie)
    • $\Delta_2 = \det \begin{bmatrix} 6 & K \\ 1 & 11 \end{bmatrix} = 6 \cdot 11 - 1 \cdot K = 66 - K$
    • $\Delta_3 = a_0 \cdot \Delta_2 = K(66 - K)$
  4. Krok 4: Rozwiązanie układu nierówności
    Wymagamy, aby $\Delta_2 > 0$:
    $$66 - K > 0 \implies K < 66$$

Wynik końcowy: Układ jest stabilny dla wzmocnienia z przedziału: $K \in (0, 66)$.

Zadanie 2 (Układ czwartego rzędu z dwoma parametrami)

Zbadaj stabilność układu o wielomianie charakterystycznym stopnia $n=4$: $$M(s) = s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 4s + 1 = 0$$ Określ jednoznacznie, czy układ jest stabilny.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Warunek konieczny
    Współczynniki: $a_4=1, a_3=2, a_2=4, a_1=4, a_0=1$. Wszystkie są dodatnie, warunek konieczny jest spełniony.
  2. Krok 2: Konstrukcja macierzy Hurwitza dla $n=4$
    Macierz ma wymiar $4 \times 4$. Wiersze budujemy zaczynając od współczynników parzystych i nieparzystych:
    $$H = \begin{bmatrix} a_3 & a_1 & 0 & 0 \\ a_4 & a_2 & a_0 & 0 \\ 0 & a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & a_4 & a_2 & a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$
  3. Krok 3: Obliczenie minorów
    • $\Delta_1 = 2 > 0$
    • $\Delta_2 = \det \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = 2\cdot4 - 1\cdot4 = 4 > 0$
    • $\Delta_3 = \det \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} = 2 \cdot \det \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} - 4 \cdot \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = 2(16 - 2) - 4(4 - 0) = 28 - 16 = 12 > 0$
    • $\Delta_4 = a_0 \cdot \Delta_3 = 1 \cdot 12 = 12 > 0$

Wynik końcowy: Ponieważ wszystkie minory ($\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$) są ściśle większe od zera, układ jest stabilny.

Zadanie 3 (Pułapka egzaminacyjna - Granica stabilności)

Dany jest wielomian charakterystyczny układu z parametrem $T$: $$M(s) = T^2 s^3 + 2T s^2 + s + 2 = 0$$ Wyznacz warunek stabilności dla parametru $T$.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Warunek konieczny
    Współczynniki: $a_3=T^2, a_2=2T, a_1=1, a_0=2$. Zatem musi zachodzić: $T > 0$.
  2. Krok 2: Budowa macierzy i obliczenie minora $\Delta_2$
    Dla układu 3. rzędu kluczowym wyznacznikiem decydującym o stabilności jest $\Delta_2 = a_2 a_1 - a_3 a_0$:
    $$\Delta_2 = (2T) \cdot 1 - (T^2) \cdot 2 = 2T - 2T^2$$
  3. Krok 3: Analiza nierówności $\Delta_2 > 0$
    $$2T - 2T^2 > 0 \implies 2T(1 - T) > 0$$ Miejsca zerowe tego równania to $T=0$ oraz $T=1$. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w dół (współczynnik przy $T^2$ jest ujemny), wartości dodatnie znajdują się pomiędzy pierwiastkami.

Wynik końcowy: Układ jest stabilny dla parametru ze standardowego przedziału: $T \in (0, 1)$.

Uwaga techniczna: Dla $T=1$ minor $\Delta_2 = 0$, co oznacza, że układ znajduje się na granicy stabilności (generuje niegasnące oscylacje harmoniczne).

Kompendium Ćwiczeń • Politechnika Śląska • Semestr 4