Zestaw Zadań: Charakterystyki Częstotliwościowe (Nyquista)

Wykres Nyquista przedstawia transmitancję widmową układu otwartego $G_o(j\omega)$ na płaszczyźnie zespolonej przy zmianie pulsacji $\omega$ od $0$ do $+\infty$. Kluczem obliczeniowym jest poprawne wyznaczenie części rzeczywistej ($Re$) oraz urojonej ($Im$).

Zadanie 1 (Inercja pierwszego rzędu - Wyznaczenie analityczne)

Wyznacz jawne wzory na część rzeczywistą $Re\{G(j\omega)\}$ oraz urojoną $Im\{G(j\omega)\}$ dla członika inercyjnego pierwszego rzędu o transmitancji: $$G(s) = \frac{K}{Ts + 1}$$ Narysuj jakościowy wykres Nyquista na podstawie obliczonych punktów granicznych.

Re Im K (ω=0) 0 (ω→∞)

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Podstawienie operatora częstotliwościowego
    Zastępujemy operator $s$ przez wyrażenie $j\omega$: $$G(j\omega) = \frac{K}{j\omega T + 1} = \frac{K}{1 + j\omega T}$$
  2. Krok 2: Usunięcie jednostki urojonej z mianownika
    Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli przez wyrażenie $(1 - j\omega T)$: $$G(j\omega) = \frac{K(1 - j\omega T)}{(1 + j\omega T)(1 - j\omega T)} = \frac{K - j\omega TK}{1^2 - (j\omega T)^2}$$ Ponieważ $j^2 = -1$, mianownik przyjmuje postać rzeczywistą $1 + \omega^2 T^2$:
    $$G(j\omega) = \frac{K}{1 + \omega^2 T^2} + j\frac{-\omega TK}{1 + \omega^2 T^2}$$
  3. Krok 3: Separacja funkcji i analiza punktów brzegowych
    - Część rzeczywista: $Re\{G(j\omega)\} = \frac{K}{1 + \omega^2 T^2}$
    - Część urojona: $Im\{G(j\omega)\} = \frac{-\omega TK}{1 + \omega^2 T^2}$
    Dla $\omega = 0$: $Re = K$, $Im = 0$. Wykres startuje na osi rzeczywistej w punkcie $(K, 0)$.
    Dla $\omega \to \infty$: $Re \to 0$, $Im \to 0$. Wykres dąży do środka układu współrzędnych.

Wniosek: Charakterystyka Nyquista tworzy idealny półokrąg zlokalizowany w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej.

Zadanie 2 (Wyznaczanie punktu przecięcia osi - Granica stabilności)

Dana jest transmitancja układu otwartego składającego się z integratora i dwóch inercji: $$G_o(s) = \frac{K}{s(s + 1)(s + 2)}$$ Oblicz analitycznie pulsację krytyczną $\omega_{kr}$, dla której wykres Nyquista przecina ujemną oś rzeczywistą, oraz wyznacz wartość krytyczną wzmocnienia $K_{kr}$.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Wyznaczenie transmitancji widmowej
    $$G_o(j\omega) = \frac{K}{j\omega(j\omega + 1)(j\omega + 2)} = \frac{K}{j\omega(j^2\omega^2 + 2j\omega + j\omega + 2)} = \frac{K}{j\omega(-\omega^2 + 3j\omega + 2)}$$ $$G_o(j\omega) = \frac{K}{-j\omega^3 - 3\omega^2 + 2j\omega} = \frac{K}{-3\omega^2 + j(2\omega - \omega^3)}$$
  2. Krok 2: Mnożenie przez sprzężenie
    Mnożymy przez $-3\omega^2 - j(2\omega - \omega^3)$: $$G_o(j\omega) = \frac{K[-3\omega^2 - j(2\omega - \omega^3)]}{(-3\omega^2)^2 + (2\omega - \omega^3)^2}$$ Interesuje nas wyłącznie licznik części urojonej w celu znalezienia punktu przecięcia z osią rzeczywistą ($Im = 0$):
    $$Im\{G_o(j\omega)\} = \frac{-K(2\omega - \omega^3)}{9\omega^4 + (2\omega - \omega^3)^2}$$
  3. Krok 3: Wyznaczenie pulsacji krytycznej $\omega_{kr}$
    Przyrównujemy licznik części urojonej do zera dla $\omega > 0$: $$2\omega_{kr} - \omega_{kr}^3 = 0 \implies \omega_{kr}^2 = 2 \implies \omega_{kr} = \sqrt{2} \text{ rad/s}$$
  4. Krok 4: Obliczenie wartości przecięcia i wzmocnienia krytycznego
    Podstawiamy $\omega_{kr} = \sqrt{2}$ do wzoru na część rzeczywistą (w liczniku zostaje tylko składnik $-3\omega^2K$): $$Re\{G_o(j\sqrt{2})\} = \frac{-3(\sqrt{2})^2 K}{9(\sqrt{2})^4 + 0} = \frac{-6K}{36} = -\frac{K}{6}$$ Układ znajduje się na granicy stabilności, gdy wykres przechodzi dokładnie przez punkt krytyczny $-1 + j0$: $$-\frac{K_{kr}}{6} = -1 \implies K_{kr} = 6$$

Wynik końcowy: Pulsacja krytyczna wynosi $\omega_{kr} = \sqrt{2}$, a wzmocnienie krytyczne to $K_{kr} = 6$.

Kompendium Ćwiczeń • Politechnika Śląska • Semestr 4