Zestaw Zadań: Formalne Badanie Astatyzmu i Uchybów

Rząd astatyzmu wyznaczamy ściśle z definicji granicznej, sprawdzając warunek $\lim_{s \to 0} s^k G_o(s)$. Do obliczenia wartości uchybu w stanie ustalonym wykorzystujemy twierdzenie o wartości końcowej Laplace'a, pod warunkiem, że układ zamknięty jest stabilny.

Zadanie 1 (Wyznaczanie rzędu astatyzmu z definicji formalnej)

Dana jest transmitancja układu otwartego: $$G_o(s) = \frac{4(2s + 1)}{s^2(s + 3)}$$ Wyznacz rząd astatyzmu układu $n$ oraz wartość odpowiedniego współczynnika uchybowego, posługując się formalną metodą graniczną.

Rozwiązanie:

Testujemy kolejne wartości potęgi $k$ w wyrażeniu granicznym $\lim_{s \to 0} s^k G_o(s)$:

  1. Dla $k = 0$: $$\lim_{s \to 0} s^0 \cdot \frac{4(2s + 1)}{s^2(s + 3)} = \frac{4(0+1)}{0 \cdot (0+3)} = \infty$$ Wynik to nieskończoność, więc rząd astatyzmu $n > 0$.
  2. Dla $k = 1$: $$\lim_{s \to 0} s^1 \cdot \frac{4(2s + 1)}{s^2(s + 3)} = \lim_{s \to 0} \frac{4(2s + 1)}{s(s + 3)} = \frac{4}{0} = \infty$$ Wynik to nadal nieskończoność, więc rząd astatyzmu $n > 1$.
  3. Dla $k = 2$: $$\lim_{s \to 0} s^2 \cdot \frac{4(2s + 1)}{s^2(s + 3)} = \lim_{s \to 0} \frac{4(2s + 1)}{s + 3}$$ Operatory $s^2$ się skróciły. Podstawiamy $s = 0$:
    $$\lim_{s \to 0} \frac{4(0 + 1)}{0 + 3} = \frac{4}{3}$$

Wynik końcowy: Ponieważ granica przyjęła skończoną i niezerową wartość dla $k = 2$, to rząd astatyzmu wynosi $n = 2$ (astatyzm drugiego rzędu, tzw. astatyzm przyspieszeniowy). Współczynnik uchybowy wynosi $K_a = \frac{4}{3}$.

Zadanie 2 (Uchyb ustalony dla wymuszenia typu rampa)

Układ otwarty ma transmitancję $G_o(s) = \frac{5}{s(2s + 1)}$. Wiedząc, że układ zamknięty jest stabilny, oblicz wartość uchybu ustalonego $e_{ust}$ po podaniu na wejście sygnału zadanego w postaci rampy liniowej $r(t) = 2t \cdot 1(t)$.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Transformata sygnału zadanego
    Dla wymuszenia $r(t) = 2t \cdot 1(t)$ transformata Laplace'a wynosi: $$R(s) = \frac{2}{s^2}$$
  2. Krok 2: Zastosowanie twierdzenia o wartości końcowej
    Wzór ogólny na uchyb ustalony: $$e_{ust} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{1 + G_o(s)} \cdot R(s)$$ Podstawiamy nasze dane: $$e_{ust} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{1 + \frac{5}{s(2s + 1)}} \cdot \frac{2}{s^2}$$
  3. Krok 3: Przekształcenia algebraiczne
    Skracamy operator $s$ z licznika z jedną potęgą z mianownika ($s \cdot \frac{2}{s^2} = \frac{2}{s}$): $$e_{ust} = \lim_{s \to 0} \frac{2}{s \left(1 + \frac{5}{s(2s + 1)}\right)} = \lim_{s \to 0} \frac{2}{s + \frac{5}{2s + 1}}$$
  4. Krok 4: Obliczenie granicy
    Podstawiamy $s = 0$ do uproszczonego wyrażenia:
    $$e_{ust} = \frac{2}{0 + \frac{5}{2(0) + 1}} = \frac{2}{\frac{5}{1}} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Wynik końcowy: Układ śledzi rampę ze stałym uchybem w stanie ustalonym wynoszącym $e_{ust} = 0.4$.

Zadanie 3 (Wyższa szkoła jazdy - Uchyb od zakłócenia)

W układzie ze sprzężeniem zwrotnym zakłócenie $Z(s) = \frac{1}{s}$ (skok) wchodzi bezpośrednio za regulatorem $G_r(s) = \frac{K}{s}$, a przed obiektem $G_o(s) = \frac{1}{Ts + 1}$. Wyznacz wzór na uchyb ustalony wywołany tym zakłóceniem.

Rozwiązanie:

  1. Krok 1: Wyznaczenie transmitancji uchybowej względem zakłócenia
    Zgodnie ze strukturą blokową układu, sygnał błędu generowany przez zakłócenie wynosi: $$G_{ez}(s) = \frac{E(s)}{Z(s)} = \frac{-G_o(s)}{1 + G_r(s)G_o(s)}$$ Podstawiamy transmitancje bloków: $$G_{ez}(s) = \frac{-\frac{1}{Ts + 1}}{1 + \frac{K}{s(Ts + 1)}} = \frac{-1}{Ts + 1 + \frac{K}{s}} = \frac{-s}{s(Ts + 1) + K}$$
  2. Krok 2: Obliczenie uchybu ustaloneho z twierdzenia o wartości końcowej
    Dla wymuszenia zakłócającego $Z(s) = \frac{1}{s}$ liczymy granicę: $$e_{ust}^{z} = \lim_{s \to 0} s \cdot G_{ez}(s) \cdot Z(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{-s}{s(Ts + 1) + K} \cdot \frac{1}{s}$$ Skracamy operatory $s$:
    $$e_{ust}^{z} = \lim_{s \to 0} \frac{-s}{s(Ts + 1) + K} = \frac{-0}{0(T\cdot0 + 1) + K} = \frac{0}{K} = 0$$

Wynik końcowy: Dzięki obecności integratora w regulatorze ($G_r = \frac{K}{s}$), uchyb ustalony od zakłócenia skokowego wynosi $e_{ust}^{z} = 0$. Układ całkowicie skompensuje to zakłócenie w stanie ustalonym.

Kompendium Ćwiczeń • Politechnika Śląska • Semestr 4