Skondensowana baza wiedzy inżynierskiej na podstawie analizy modeli fizycznych, linearyzacji oraz
rozwiązywania równań różniczkowych metodą operatorową.
1. Modelowanie Układów Liniowych i Równania Stanu
Każdy liniowy układ dynamiczny może zostać opisany za pomocą uniwersalnego zapisu macierzowego (równań stanu):
$$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$$
$$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t)$$
Gdzie: $\mathbf{x}(t)$ – wektor stanu, $\mathbf{u}(t)$ – wektor wejściowy (sterowanie), $\mathbf{y}(t)$ – wyjście,
$\mathbf{A}$ – macierz stanu, $\mathbf{B}$ – macierz wejść, $\mathbf{C}$ – macierz
wyjść, $\mathbf{D}$ – macierz przenoszenia bezpośredniego.
Przykład: Szeregowy układ elektryczny RLC
Obiekt: Obwód z rezystorem $R$, cewką $L$ i kondensatorem $C$. Napięcie wejściowe to
$e(t)$, a zmiennymi stanu są napięcie na kondensatorze $x_1 = u_C$ oraz prąd w obwodzie $x_2 = i$.
Równania różniczkowe wynikające z praw Kirchhoffa:
- $$\frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{C}i(t)$$
- $$\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{L}u_C(t) - \frac{R}{L}i(t) + \frac{1}{L}e(t)$$
Zapis macierzowy:
$$\begin{bmatrix} \dot{u}_C(t) \\ \dot{i}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{C} \\ -\frac{1}{L} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_C(t) \\ i(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{L} \end{bmatrix} e(t)$$
Transmitancja operatorowa $G(s) = \frac{U_C(s)}{E(s)}$:
$$G(s) = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$
2. Linearyzacja Układów Nieliniowych
Układy nieliniowe opisane ogólnym równaniem $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$ przybliża się w otoczeniu punktu pracy
liniowymi równaniami przyrostowymi, wykorzystując rozwinięcie w szereg Taylora (Jakobian).
Algorytm postępowania przy linearyzacji:
- Wyznaczenie punktu pracy $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$: Przyjmij pochodne po czasie za równe
zero ($\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{0}$) i wyznacz stan ustalony $\mathbf{x}_0$ dla zadanego wymuszenia ustalonego $\mathbf{u}_0$.
- Obliczenie współczynników macierzy $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$: Wyznacz pochodne cząstkowe
funkcji nieliniowej $\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})$ względem stanu $\mathbf{x}$ oraz sterowania $\mathbf{u}$, a następnie podstaw
wartości z punktu pracy $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$.
- Zapis równania przyrostowego: $\Delta \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\Delta \mathbf{x} + \mathbf{B}\Delta \mathbf{u}$, gdzie
$\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0$ oraz $\Delta \mathbf{u} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_0$.
Przykład: Zbiornik stożkowy (Nieliniowy bilans mas)
Równanie nieliniowe: $B \cdot h^2(t) \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t} = q_i(t) - \alpha_T \sqrt{h(t)}$,
gdzie $B$ to stała geometryczna stożka, $h$ to wysokość cieczy, $q_i$ to dopływ.
1. Punkt pracy: $$\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t} = 0 \implies q_{i0} = \alpha_T \sqrt{h_0} \implies h_0 = \left(\frac{q_{i0}}{\alpha_T}\right)^2$$
2. Linearyzacja przyrostowa: Pochodna z odpływu po $h$ w punkcie $h_0$ wynosi
$\frac{\alpha_T}{2\sqrt{h_0}}$. Lewa strona po rozwinięciu w otoczeniu punktu pracy przyjmuje postać $B \cdot h_0^2 \frac{\mathrm{d}\Delta h(t)}{\mathrm{d}t}$.
3. Zlinearyzowane równanie operatorowe:
$$\left(B h_0^2 s + \frac{\alpha_T}{2\sqrt{h_0}}\right) \Delta H(s) = \Delta Q_i(s)$$
4. Ostateczna transmitancja przyrostowa (obiekt inercyjny 1. rzędu):
$$G(s) = \frac{\Delta H(s)}{\Delta Q_i(s)} = \frac{2\sqrt{h_0}}{2B h_0^{5/2}s + \alpha_T}$$
3. Równania Różniczkowe i Odpowiedzi Czasowe (Laplace)
Rozwiązywanie równań różniczkowych polega na transformacji równania do dziedziny operatorowej $s$,
uwzględnieniu niezerowych warunków początkowych, rozkładzie na ułamki proste i wykonaniu
retransformacji.
Trzy kluczowe przypadki mianownika dla układów 2. rzędu:
- Przypadek 2A (Bieguny rzeczywiste, różne): $\Delta > 0$. Odpowiedź ma charakter
aperiodyczny (składa się z dwóch niezależnych eksponent):
$$y_s(t) = A e^{-s_1 t} + B e^{-s_2 t}$$
- Przypadek 2B (Biegun podwójny, rzeczywisty): $\Delta = 0$. Granica
aperiodyczności. Wymaga użycia twierdzenia o mnożeniu przez czas:
$$y_s(t) = (L_1 + L_2 t)e^{-s_0 t}$$
- Przypadek 2C (Bieguny zespolone, sprzężone): $\Delta < 0$. Przebieg oscylacyjny
tłumiony ($s_{1,2} = -\sigma \pm j\omega$):
$$y_s(t) = 2|A|e^{-\sigma t}\cos(\omega t + \arg(A))$$
Przykład: Retransformacja odpowiedzi swobodnej (Przypadek 2C)
Dany jest operatorowy opis odpowiedzi swobodnej układu drgającego rozbity na zespolone ułamki proste
o biegunach $s_{1,2} = -\sigma \pm j\omega$:
$$Y_s(s) = \frac{A}{s - (-\sigma + j\omega)} + \frac{A^*}{s - (-\sigma - j\omega)}$$
Gdzie $A$ to zespolona stała rozkładu, a $A^*$ to jej sprzężenie. Wykorzystując tożsamość Eulera,
retransformata Laplace'a generuje bezpośrednio przebieg czasowy w postaci jawnej:
$$y_s(t) = 2|A| e^{-\sigma t} \cos(\omega t + \arg(A)) \cdot \mathbf{1}(t)$$
Gdzie moduł $|A|$ decyduje o początkowej amplitudzie, a argument liczby zespolonej określa
przesunięcie fazowe $\varphi$.