Po wyznaczeniu modelu i potwierdzeniu podstawowej stabilności układu zamkniętego, kolejnym krokiem
inżynierskim jest określenie jakości sterowania oraz odporności układu na utratę
stabilności. Służą do tego komplementarne metody geometryczne (w dziedzinie czasu i
operatorowej $s$) oraz częstotliwościowe (w dziedzinie $\omega$).
1. Metoda Linii Pierwiastkowe (Root Locus)
Metoda ta polega na badaniu trajektorii, po których poruszają się bieguny (pierwiastki mianownika) układu
zamkniętego na płaszczyźnie zespolonej $s = \sigma + j\omega$, gdy wzmocnienie regulatora $K$ zmienia
się w zakresie od $0$ do $+\infty$.
Rys. 1: Przykładowe linie pierwiastkowe układu 2.
rzędu. Zbieganie się biegunów na osi rzeczywistej i wyjście w płaszczyznę zespoloną (początek
oscylacji).
Interpretacja położenia punktów na płaszczyźnie $s$:
Wzrost wzmocnienia $K$: Przemieszczanie się pierwiastków wzdłuż linii
niebieskich. Start ($K=0$) zawsze w biegunach układu otwartego (czerwone krzyżyki $s_1, s_2$).
Stabilność: Jeśli jakakolwiek gałąź przekroczy pionową oś
$\operatorname{Im}(j\omega)$ i przejdzie na prawą stronę ($\operatorname{Re}(s) > 0$), układ dla
tego wzmocnienia staje się niestabilny.
Charakter odpowiedzi układu:
Póki pierwiastki leżą na osi poziomej $\operatorname{Re}(s)$: odpowiedź jest
aperiodyczna (brak przeregulowań).
Po przekroczeniu punktu $K_{osc}$, bieguny stają się zespolone sprzężone: odpowiedź
staje się oscylacyjna tłumiona. Im wyżej w pionie znajduje się punkt,
tym większa częstotliwość drgań i silniejsze przeregulowanie układu.
2. Zapasy Stabilności na Wykresie Nyquista
Zapasy stabilności określają margines bezpieczeństwa, jaki dzieli stabilny układ zamknięty od znalezienia
się na granicy stabilności, reprezentowanej przez punkt krytyczny $-1 + j0$ na charakterystyce Nyquista.
Rys. 2: Charakterystyka częstotliwościowa układu
otwartego z zaznaczonym modułem w punkcie krytycznym ($a$) oraz zapasem fazy ($\Delta\varphi$).
Metodyka analitycznego wyznaczania zapasów:
1. Zapas amplitudy (wzmocnienia) $\Delta K$:
Określa, ile razy można zwiększyć wzmocnienie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na
granicy stabilności.
Wyznacz częstotliwość krytyczną $\omega_{kr}$, dla której faza wynosi $-180^\circ$ (czyli część
urojona transmitancji widmowej zeruje się):
$$\operatorname{Im}\{G_o(j\omega_{kr})\} = 0$$
Oblicz odległość od początku układu współrzędnych $a =
|\operatorname{Re}\{G_o(j\omega_{kr})\}|$.
Zapas wzmocnienia wynosi:
$$\Delta K = \frac{1}{a} = \frac{1}{|G_o(j\omega_{kr})|}$$
2. Zapas fazy $\Delta \varphi$:
Określa wielkość dodatkowego opóźnienia fazowego, które doprowadzi układ zamknięty do granicy
stabilności.
Wyznacz częstotliwość odcięcia $\omega_c$, w której moduł układu otwartego jest równy jedności
(przecięcie z okręgiem jednostkowym):
$$|G_o(j\omega_c)| = 1$$
Oblicz argument (fazę) transmitancji dla tej częstotliwości: $\varphi(\omega_c) =
\arg\{G_o(j\omega_c)\}$.
Zapas fazy to różnica kątowa od linii $-180^\circ$: