Statyczna Dokładność Układów – Badanie Astatyzmu

Analiza astatyzmu pozwala określić zdolność uchybową układu regulacji, czyli zdolność do dokładnego śledzenia wymuszeń zadanych oraz tłumienia zakłóceń w stanie ustalonym ($t \to \infty$).

1. Klasy Wymuszeń i Definicja Uchybu Ustalonego

Uchyb regulacji w dziedzinie operatorowej definiuje relacja: $E(s) = \frac{1}{1+G_o(s)}R(s)$. Wartość uchybu w stanie ustalonym wyznacza się z twierdzenia o wartości końcowej Laplace'a:

$$e_{\mathrm{ust}} = \lim_{s \to 0} s \cdot E(s) = \lim_{s \to 0} \frac{s \cdot R(s)}{1 + G_o(s)}$$

UWAGA KOLOKWIALNA: Przed przystąpieniem do obliczania granicy uchybu, bezwzględnie należy sprawdzić stabilność wewnętrzną układu zamkniętego (np. kryterium Hurwitza)! For układów niestabilnych uchyb zawsze dąży do nieskończoności.

Rys. 1: Typy wymuszeń testowych stosowanych do określania rzędu astatyzmu układu.

2. Rząd Astatyzmu Układu

Rząd astatyzmu ($n$) to liczba idealnych integratorów (członów typu $\frac{1}{s}$) połączonych szeregowo wewnątrz transmitancji układu otwartego $G_o(s)$:

$$G_o(s) = \frac{P(s)}{s^n \cdot Q(s)}$$

Relacja pomiędzy rzędem wymuszenia $m$ a rzędem astatyzmu $n$ jednoznacznie determinuje wartość błędu ustalonego:

Rząd wymuszenia ($m$)	Układ nieastatyczny ($n=0$)	Układ z astatyzmem ($n=1$)	Układ z astatyzmem ($n=2$)
Skok jednostkowy ($m=0$)	$e_{\mathrm{ust}} = \frac{1}{1+K} = \mathrm{const}$	$e_{\mathrm{ust}} = 0$	$e_{\mathrm{ust}} = 0$
Rampa (liniowe) ($m=1$)	$e_{\mathrm{ust}} \to \infty$	$e_{\mathrm{ust}} = \frac{1}{K} = \mathrm{const}$	$e_{\mathrm{ust}} = 0$
Parabola ($m=2$)	$e_{\mathrm{ust}} \to \infty$	$e_{\mathrm{ust}} \to \infty$	$e_{\mathrm{ust}} = \frac{2}{K} = \mathrm{const}$

3. Przykład Obliczeniowy (Zadanie Egzaminacyjne / Kolokwium)

Treść zadania: Określić rząd astatyzmu oraz obliczyć wartość uchybu ustalonego względem sygnału zadanego dla układu z regulatorem $G_r(s) = \frac{K_v}{s}$ oraz obiektem $G_d(s) = \frac{K_0}{(1+sT)^2}$. Wymuszenie stanowi rampa $r(t) = t \cdot \mathbf{1}(t)$.

Krok 1: Wyznaczenie transmitancji układu otwartego

$$G_o(s) = G_r(s) \cdot G_d(s) = \frac{K_v K_0}{s(1+sT)^2}$$

W mianowniku występuje pojedynczy operator $s^1$, stąd wniosek: Układ posiada astatyzm 1. rzędu ($n=1$).

Krok 2: Badanie stabilności układu zamkniętego

Równanie charakterystyczne: $1 + G_o(s) = 0 \implies s(1+sT)^2 + K_v K_0 = 0$. Po rozwinięciu:

$$T^2 s^3 + 2T s^2 + s + K_v K_0 = 0$$

Z kryterium Hurwitza dla wielomianu 3. rzędu warunkiem stabilności jest $\Delta_2 = a_2 a_1 - a_3 a_0 > 0$:

$$2T \cdot 1 - T^2 \cdot K_v K_0 > 0 \implies K_v K_0 < \frac{2}{T}$$

Zakładamy, że parametry spełniają ten warunek – układ zamknięty jest stabilny.

Krok 3: Obliczenie uchybu ustalonego dla rampy ($R(s) = \frac{1}{s^2}$)

$$e_{\mathrm{ust}} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{1 + \frac{K_v K_0}{s(1+sT)^2}} \cdot \frac{1}{s^2} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{s + \frac{K_v K_0}{(1+sT)^2}} = \frac{1}{K_v K_0}$$

Wynik końcowy: Układ nadąża za rampą ze stałym, niezerowym błędem równym $e_{\mathrm{ust}} = \frac{1}{K_v K_0}$.